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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 285 — #291
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9.1. Integraci´ on estoc´ astica 285

2
Ejemplo 9.4 Sean X t y Y t dos procesos en H .Entonces
t t t
E X s dB s Y s dB s E X s Y s ds.
0 0 0
Esta f´ormula es f´acil de comprobar usando la isometr´ıa de Itˆo y la igualdad
2
ab 1 a b 2 1 a 2 b .En efecto,
2 2
t t
E X s dB s Y s dB s
0 0
1 t 1 t t
E X s Y s dB s 2 E X s dB s 2 E Y s dB s 2
2 0 2 0 0
1 t 2 1 t 2 t 2
E X s Y s ds E X s ds E Y s ds
2 0 2 0 0
t
E X s Y s ds.
0

Propiedades de la integral
La integral estoc´astica de Itˆo cumple varias propiedades aunque s´olo men-
cionaremos algunas de ellas aqu´ı, a manera de resumen de las caracter´ısticas
se˜naladas antes.

2
a) La integral I t : L 2 loc L P es lineal, es decir, para c constante y
2
para cualesquiera procesos X s y Y s en L ,se cumple que
loc
t t t
cX s Y s dB s c X s dB s Y s dB s , c.s.
0 0 0

b) Tiene esperanza es cero, es decir, para cualquier proceso X s en L 2 loc ,
t
E X s dB s 0, c.s.
0
2
c) Cuando la integral se restringe al espacio H ,se cumple la isometr´ıa
de Itˆo, es decir,

t t
2
E X s dB s 2 E X s ds.
0 0

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