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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 294 — #300
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294 9. C´ alculo estoc´ astico

9.5. Algunos modelos particulares

Movimiento Browniano geom´etrico
Este modelo es de amplio uso en finanzas y sirve para representar el pre-
cio de algunos bienes que fluct´uan siguiendo los vaivenes de los mercados
financieros. Su definici´on es la siguiente.

Definici´on 9.5 Sean µ y σ 0 dos constantes, y x 0 0.El movimiento
Browniano geom´etrico es el proceso X t : t 0 soluci´on de la ecuaci´on
estoc´astica

dX t µX t dt σX t dB t , (9.13)
X 0 x 0 ,

ypuede escribirse como sigue:

1
2
x 0 exp µ σ t σB t . (9.14)
X t
2
La ecuaci´on (9.13) puede interpretarse de la siguiente forma: en ausencia
del t´ermino estoc´astico, la ecuaci´on se reduce a dX t µX t dt,cuya soluci´on
µt
es X t x 0 e .Esta funci´on representa el comportamiento en el tiempo de
un capital inicial positivo x 0 que
crece de manera continua y de-
terminista a una tasa efectiva del X t ω
100µ %, suponiendo µ 0. Por otro E X t
lado, la parte estoc´astica correspon-
de a la volatilidad de una inver-
si´on con riesgo sujeta a las fluctua-
ciones de los mercados financieros. x 0
El modelo supone que dicha varia- t
bilidad es proporcional al valor de 1 2
la inversi´on. A este proceso se le Figura 9.5
conoce tambi´en con el nombre de
movimiento Browniano exponencial. En la Figura 9.5 puede apreciarse una
trayectoria de este proceso con una inversi´on inicial x 0 de una unidad mo-
netaria, y con par´ametros µ 1, y σ 1 3. La curva creciente corresponde

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