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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 254 — #260
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254 8. Movimiento Browniano

en donde △ es el operador Laplaciano, y d es una constante positiva. Supon-
ga adem´as que se tiene una temperatura inicial u 0,x f x para x D,
yla condici´on de frontera u t, x g x para x D.Sea x un punto
cualquiera en D ydefina el tiempo τ ´ınf t 0: B t x D ,en donde
B x es un movimiento Browniano de par´ametro σ 2 d,y que inicia en
t
x.La soluci´on a esta ecuaci´on de calor con las condiciones mencionadas se
puede expresar en t´erminos del movimiento Browniano de la siguiente forma
x
x
u t, x E f B 1 τ t g B 1 τ t . (8.3)
t
τ
Conforme t la estructura de la ecuaci´on de calor hace que la soluci´on
u t, x se aproxime a una funci´on u x ,la soluci´on estacionaria de la ecuaci´on
de calor, que satisface
△ u x 0, (8.4)

para x D,y conservando la condici´on de frontera u x g x para x D,
es decir,
E g B x si x D,
u x l´ım u t, x τ
t g x si x D.

Ejemplo 8.1 (El problema de la ruina del jugador con trayectorias
Brownianas) Suponga que un movimiento Browniano unidimensional ini-
cia en el punto x dentro del intervalo a, b ,con 0 a b . ¿Cu´al es la
probabilidad de que el proceso tome el valor a antes que b?Una trayectoria
Browniana que cumple tal condici´on se muestra en la Figura 8.5(a). Este es
el problema de la ruina del jugador estudiado antes s´olo que ahora el capi-
tal del jugador cambia continuamente siguiendo un movimiento Browniano.
Llegar primero al valor a se interpreta como ruina, y el juego es justo pues
los incrementos del movimiento Browniano tienen esperanza nula. Defina
nuevamente el tiempo de paro τ ´ınf t 0: B t x a ´o B x b .Nos
t
interesa encontrar

u x P B τ x a E 1 a B x .
τ
Por la igualdad (8.4), esta funci´on cumple la ecuaci´on u x 0,para
a x b,con condiciones de frontera u a 1 y u b 0.La soluci´on es
u x b x b a ,cuya gr´afica semuestra en la Figura 8.5(b).

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