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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 226 — #232
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226 7. Martingalas

X n E X F n ,tomando esperanzas y para cualquier M 0 se tiene
que

E X E X n
X n dP
X n M
MP X n M .
De modo que si se toma M E X δ,con δ 0 arbitrario, entonces
P X n M E X M δ.Por lo tanto,

X n dP E X F n dP
X n M X n M
X dP
X n M
ϵ.

La siguiente proposici´on establece que la convergencia en media es una
condici´on suficiente para que se cumpla la propiedad de integrabilidad uni-
forme en un proceso.

Proposici´on 7.6 Toda sucesi´on X 1 ,X 2 ,... de variables aleatorias inte-
grables que es convergente en media es uniformemente integrable.
Demostraci´on. Suponga que X 1 ,X 2 ,... es una sucesi´on de variables
aleatorias integrables convergente en media a la variable aleatoria integrable
X,es decir, E X n X 0. Esto es, para cada ϵ 0existe un natural
N tal que para cualquier n N, E X n X ϵ 2. Dado que el l´ımite X
es integrable, para cada ϵ 0existe δ 0tal que si P A δ,entonces
X dP ϵ 2. Tomando un valor de δ 0m´as peque˜no si es necesariose
A
tiene adem´as que X n dP ϵ,para cada n 1,... ,N,cuando P A δ.
A
Por otro lado, para cualquier n 1,

E X n X n dP
X n M
MP X n M .
Es decir, P X n M 1 E X n δ si se toma M 1 sup E X n .
M δ n
Tal valor de M es finito pues como la sucesi´on converge en media, es aco-
tada en media. En particular y con el valor de M mencionado, lo anterior

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