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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 170 — #176
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170 5. Cadenas de Markov a tiempo continuo

143. Para la cadena de Markov de dos estados, demuestre que el tiempo de
estancia promedio en el estado cero, a largo plazo, es

1 µ
l´ım E 1 0 X s ds .
t t 0 λ µ
Observe que no es necesario establecer el estado inicial del proceso.
El tiempo de estancia promedio en el estado uno a largo plazo esla
fracci´on complementaria.

Ecuaciones de Kolmogorov

144. Escriba el sistema de ecuaciones diferenciales retrospectivas de Kol-
mogorov para un proceso de Poisson de par´ametro λ ycompruebe que
la distribuci´on Poisson satisface este sistema de ecuaciones.

145. Sea N t : t 0 un proceso de Poisson de par´ametro λ ysean
Y 1 ,Y 2 ,... v.a.i.i.d. con distribuci´on com´un Bernoulli p .Encuentre las
ecuaciones de Kolmogorov retrospectivas y prospectivas delproceso

N t
X t Y j .
j 1
Resuelva cualquiera de estos sistemas de ecuaciones y demuestre que
para j i,
λpt j i
p ij t e λpt .
j i !

Procesos de nacimiento y muerte

146. Para la cadena de Markov a tiempo continuo de dos estados en donde
la estancia en el estado 0 tiene distribuci´on exp λ ,y la estancia en el
estado 1 es exp µ ,demuestre que:

a) p 00 t µ λ e λ µ t λ µ .
b) p 01 t λ λ e λ µ t λ µ .
c) p 10 t µ µe λ µ t λ µ .

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