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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 140 — #146
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140 4. El proceso de Poisson

b) Suponiendo que se recibe un mensaje tipo “basura” en alg´un
momento, encuentre la distribuci´on del n´umero total de mensajes
recibidos hasta la llegada del siguiente mensaje tipo “basura”.
c) Encuentre la probabilidad de que al tiempo t hayan llegado mas
mensajes tipo “basura” que “no basura”.

126. Sean T 1 ,T 2 ,... los tiempos de interarribo de un proceso de Poisson de
par´ametro λ,y sea c una constante positiva. Defina N m´ın n 1:
T n c .Calcule E W N 1 c .
127. Suma de procesos de Poisson.Usando la Definici´on 4.3,demuestre que
la suma de dos procesos de Poisson independientes es nuevamente un
proceso de Poisson.
128. Procesos de Poisson marcados. Sean 0 W 1 W 2 los momen-
tos en los que un proceso de Poisson X t : t 0 tiene saltos, y sea
Y 1 ,Y 2 ,... una sucesi´on de v.a.i.i.d. e independientes del proceso de
Poisson. Al proceso W 1 ,Y 1 , W 2 ,Y 2 ,... se le llama proceso de Poi-
sson marcado. Considere el caso particular cuando las v.a.s Y tienen
distribuci´on com´un Ber p ydefina los procesos:

X t
X 0 t 1 Y k
k 1
X t
y X 1 t Y k .
k 1
Demuestre que los procesos X 0 t : t 0 y X 1 t : t 0 son
procesos de Poisson y que para cada t 0, las variables X 0 t y X 1 t
son independientes. Nota: se define b a 0cuando a b.
129. Sea X t : t 0 un proceso de Poisson de par´ametro λ.Suponga que
cada evento registrado es de tipo 1 con probabilidad α,o de tipo 2
con probabilidad 1 α.Sea X 1 el n´umero de eventos del tipo 1 al
t
2
tiempo t,y sea X t lo correspondiente a eventos del tipo 2. Estos son
ejemplos de los as´ı llamados procesos de Poisson marcados.
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a) Demuestre que X : t 0 y X : t 0 son procesos de
t t
Poisson de par´ametros λα y λ 1 α respectivamente.

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