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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 136 — #142
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136 4. El proceso de Poisson

aleatoria Y 1 λ ln 1 X tiene distribuci´on exp λ .Este resul-
tado puede ser usado para generar valores de la distribuci´onexp λ a
partir de valores de la distribuci´on unif 0, 1 .

107. Simulaci´on de la distribuci´on Poisson. Sea T 1 ,T 2 ,... una sucesi´on de
variables aleatorias independientes con id´entica distribuci´on exp λ .
Defina la variable aleatoria N de la siguiente forma:

0 si T 1 1,
N
k si T 1 T k 1 T 1 T k 1 .
Demuestre que N tiene distribuci´on Poisson λ .Este resultado puede
ser usado para obtener valores de la distribuci´on Poisson.

108. Sean T 1 ,... ,T n variables aleatorias independientes cada una con dis-
tribuci´on exp λ .Demuestre que la suma W n T 1 T n tiene
distribuci´on gama n, λ yque la correspondiente funci´on de distribu-
ci´on puede escribirse de la siguiente forma: para cada t 0,

λt k
λt
P W n t e .
k!
k n
109. Sea X t : t 0 un proceso de Poisson de par´ametro λ 1, e indepen-
diente de una variable aleatoria θ con distribuci´on exp λ con λ 1.
Defina el proceso Y t X θt .Demuestre los siguientes dos resultados y
concluya que las variables Y t y Y t s Y t no son independientes.
1 t n
a) P Y t n , para n 0, 1,...
1 t 1 t
n m n m 1 n m 1
b) P Y t n, Y t s n m t s .
n 1 t s

110. Sea X t : t 0 un proceso de Poisson de par´ametro λ.Demuestre
los siguientes resultados de manera sucesiva.

a) W 1 t 1 ,W 2 t 2 X t 1 0,X t 2 X t 1 0´o1 .
b) P W 1 t 1 ,W 2 t 2 e λt 1 1 λ t 2 t 1 e λ t 2 t 1 .
2
c) f W 1,W 2 t 1 ,t 2 λ e λt 2 , para 0 t 1 t 2 .

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