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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 142 — #148
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142 4. El proceso de Poisson

Proceso de Poisson no homog´eneo

134. Sea X t : t 0 un proceso Poisson no homog´eneo de intensidad
λ t ,sean T 1 ,T 2 ,... los tiempos de interarribo, y sean W 1 ,W 2 ,... los
tiempos reales de ocurrencia. Demuestre que para cualquier t 0,

t e Λ t λ t .
a) f T 1
b) f t s e Λ t s Λ s λ t s .
T 2 T 1
t e Λ t s λ t s λ s ds.
c) f T 2
0
Λ t n 1
t e Λ t λ t .
d) f W n
n 1 !
e) F t s 1 e Λ t s Λ s .
T k W k 1
Λ s k 2
t 1 e Λ t s λ s ds, k 2.
f) F T k
0 k 2 !

Proceso de Poisson compuesto

135. Demuestre las propiedades del proceso Poisson compuesto que apare-
cen en la Proposici´on 4.11.
136. Suponga que las variables Y 1 ,Y 2 ,... en un proceso de Poisson com-
puesto tienen distribuci´on com´un Ber p .Demuestre que el proceso se
reduce al proceso de Poisson de par´ametro λp.
137. Suponga que los sumandos de un proceso de Poisson compuesto X t :
t 0 de par´ametro λ tienen distribuci´on exp µ .Encuentre la dis-
tribuci´on de la variable X t .

138. Sea X t : t 0 un proceso de Poisson compuesto de par´ametro λ.
Suponga que cada uno de los sumandos de este proceso es constante
igual a k N.Encuentre la distribuci´on de X t .

139. Suponga que los usuarios de cuentas de correo electr´onico solicitan
acceso al servidor de acuerdo a un proceso de Poisson homog´eneo de
par´ametro λ.Suponga adem´as que cada usuario se mantiene conectado
al servidor un tiempo aleatorio con funci´on de distribuci´on F x ,e

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