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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 120 — #126
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120 4. El proceso de Poisson

para cada n 1. Por la propiedad de Markov y despu´es por la propiedad
de p´erdida de memoria, la probabilidad conjunta

x n
P X t 1 x 1 ,X t 2 X t 1 x 2 ,... ,X t n X t n 1
es igual a

P X t 1 s 1 ,X t 2 s 2 ,... ,X t n s n
s 1 s n 1
P X t 1 s 1 P X t 2 s 2 X t 1 P X t n s n X t n 1
P X t 1 x 1 P X t 2 X t 1 x 2 P X t n X t n 1 x n .
Las propiedades c), y d) son consecuencia inmediata de (4.1).La estaciona-
riedad de los incrementos significa que la distribuci´on de lavariable X t X s ,
para 0 s t,depende de s yde t ´unicamente a trav´es de la diferencia
t s,lo cual es evidente de (4.1). !

La expresi´on (4.2) establece de manera clara que las probabilidades de tran-
sici´on son estacionarias en el tiempo, es decir, no dependendel par´ametro s,
yse escriben simplemente como p ij t .Pero tambi´en es interesante observar
que (4.2) dice que estas probabilidades son estacionarias enel espacio, es
decir, dependen de los estados i y j ´unicamente a trav´es de la diferencia
j i.En s´ımbolos, para j i,

p ij t p 0,j i t .
Ejemplo 4.1 (Paradoja del autob´us) Suponga que la llegada de auto-
buses a una estaci´on se modela mediante un proceso de Poissonde par´ametro
λ,es decir, el tiempo quetranscurre entre la llegada de un autob´us y el si-
guiente es una variable aleatoria con distribuci´on exp λ .Suponga que el
tiempo es medido en minutos. La propiedad de p´erdida de memoria en este
contexto puede interpretarse de la siguiente forma: una persona ha llega-
do a la estaci´on y ha esperado s minutos sin que un autob´us aparezca. La
probabilidad de que tenga que esperar m´as de t minutos adicionales es la
misma que la probabilidad de espera de m´as de t minutos para una persona
que ¡acaba de llegar a la estaci´on!

Ejemplo 4.2 Sea X t : t 0 un proceso de Poisson de par´ametro λ ysea
S una variable aleatoria continua con soporte el intervalo 0, eindepen-
diente del proceso de Poisson. Entonces para cualquier t 0,el incremento

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