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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 123 — #129
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4.1. Definici´ on 123

Demostraci´on. Por la definici´on de probabilidad condicional,

P X t n X s k P X s k
P X s k X t n .
P X t n
Substituyendo estas probabilidades y simplificando se obtiene el resultado.
!

Recordando que la suma de dos procesos de Poisson independientes es nue-
vamente un proceso de Poisson, se puede comprobar f´acilmente el siguiente
resultado.

Proposici´on 4.5 Sean X 1 t y X 2 t dos procesos de Poisson independien-
tes con par´ametros λ 1 y λ 2 respectivamente, y sean k y n enteros tales que
0 k n.Entonces

n λ 1 k λ 1 n k
P X 1 t k X 1 t X 2 t n 1 .
k λ 1 λ 2 λ 1 λ 2

Demostraci´on. Por la hip´otesis de independencia entre los procesos,

P X 1 t k X 1 t X 2 t n
P X 1 t k, X 1 t X 2 t n P X 1 t X 2 t n
P X 1 t k, X 2 t n k P X 1 t X 2 t n

P X 1 t k P X 2 t n k P X 1 t X 2 t n .

Substituyendo estas probabilidades se obtiene el resultado. !

n ,el vector de tiempos reales
Proposici´on 4.6 Dado el evento X t
W 1 ,... ,W n tiene la misma distribuci´on que el vector de las estad´ısticas de
orden Y 1 ,... ,Y n de una muestra aleatoria Y 1 ,... ,Y n de la distribuci´on
uniforme en el intervalo 0,t ,es decir,

n!
si 0 w 1 w n t,
f w 1 ,... ,w n n t n
W 1,...,W n X t
0 otro caso.

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