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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 118 — #124
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118 4. El proceso de Poisson

En otras palabras, condi-
X t Y t
cionada al evento T s , 3 2
la variable T s sigue te-
niendo distribuci´on exp λ . 2 1
Esto significa que, para un 1 t
valor de s 0fijo, to-
dos los tiempos de interarri- t
s
bo a partir de s,incluyendo
el primero, siguen teniendo Figura 4.3
distribuci´on exp λ ,y por lo
tanto el proceso de conteo de eventos a partir del tiempo s es un proceso de
Poisson. La situaci´on se muestra gr´aficamente en la Figura 4.3. Demostra-
remos a continuaci´on que los incrementos de este proceso sonestacionarios
ytienen distribuci´on Poisson.

Proposici´on 4.2 Para cualesquiera tiempos 0 s t,y para n 0, 1,...

λ t s n
λ t s
P X t X s n P X t s n e . (4.1)
n!
Demostraci´on. Por el teorema de probabilidad total,

P X t X s n P X t X s n X s k P X s k .
k 0
Nos concentraremos en analizar la probabilidad condicionalindicada. Dado
que al tiempo s el proceso de Poisson se encuentra en el nivel k,por la
propiedad de p´erdida de memoria podemos considerar que en ese momento
reinicia el proceso de Poisson, y la probabilidad del evento X t X s n
es igual a la probabilidad del evento X t s n .Por lo tanto,

P X t X s n P X t s n P X s k
k 0

P X t s n P X s k
k 0
P X t s n .
!

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