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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 121 — #127
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4.1. Definici´ on 121

X S t X t tiene distribuci´on Poisson λt .En efecto, para cualquier entero
k 0,y suponiendo que F s es la funci´on de distribuci´on de la variable S,

P X S t X t k P X S t X t k S s dF s
0

P X s t X s k dF s
0

P X t k dF s
0
P X t k .
En el siguiente ejemplo haremos uso de este peque˜no resultado.

Ejemplo 4.3 (La suma de dos procesos de Poisson independientes
es un proceso de Poisson) Sean X t : t 0 y Y t : t 0 dos procesos
de Poisson independientes de par´ametros λ 1 y λ 2 respectivamente. Demos-
traremos que el proceso suma X t Y t : t 0 es un proceso de Poisson
λ 2 .Denotaremos por T 1 ,T 2 ,... alos tiempos de inter-
de par´ametro λ 1
arribo del proceso suma. La forma en la que se obtienen estos tiempos se
muestra en la Figura 4.4. Demostraremos que estas variables aleatorias son
independientes con id´entica distribuci´on exp λ 1 λ 2 .

X t

Y t

X t Y t

Figura 4.4: Suma de dos procesos de Poisson.

En el siguiente an´alisis el t´ermino X s,t denotar´a la diferencia X t X s ,para
0 s t.Entonces para cualquier valor natural de n ypara cualesquiera

tiempos t 1 ,... ,t n ,el evento T 1 t 1 ,T 2 t 2 ,... ,T n t n puede expresarse
como

X Y 0, X Y 0,... , X Y 0 ,
0,t 1 T 1 ,T 1 t 2 T n 1 ,T n 1 t n

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