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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 116 — #122
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116 4. El proceso de Poisson

define el proceso de Poisson al tiempo t como el n´umero de ocurrencias del
evento que se han observado hasta ese instante t.Esta es una definici´on con-
structiva de este proceso y la formalizaremos a continuaci´on. M´as adelante
enunciaremos otras definiciones axiom´aticas equivalentes.

Definici´on 4.1 (Primera definici´on) Sea T 1 ,T 2 ,... una sucesi´on de va-
riables aleatorias independientes cada una con distribuci´on exp λ .El pro-
ceso de Poisson de par´ametro λ es el proceso a tiempo continuo X t : t 0
definido de la siguiente manera:

X t m´ax n 1: T 1 T n t .

Se postula adem´as que el proceso inicia en cero y para ello se define m´ax

0. En palabras, la variable X t es el entero n m´aximo tal que T 1 T n es
menor o igual a t,y ello equivale a contar el n´umero de eventos ocurridos
hasta el tiempo t.Aeste proceso se le llama proceso de Poisson homog´eneo,
tal adjetivo se refiere a que el par´ametro λ no cambia con el tiempo, es
decir, es homog´eneo en
el tiempo. Una trayectoria X t ω
t´ıpica de este proceso puede 3
observarse en la Figura 4.2,
2
la cual es no decreciente,
constante por partes, con- 1
tinua por la derecha y con
t
l´ımite por la izquierda. A 0 W 1 W 2 W 3
los tiempos T 1 ,T 2 ,... se les
llama tiempos de estancia T 1 T 2 T 3 T 4
otiempos de interarribo, Figura 4.2: El proceso de Poisson
ycorresponden a los tiem- y los tiempos de ocurrencia de eventos.
pos que transcurren entre
un salto del proceso y el siguiente salto. Hemos supuesto que estos tiempos
son independientes y que todos tienen distribuci´on exp λ .En consecuencia,
la variable W n T 1 T n tiene distribuci´on gama n, λ .Esta varia-
ble representa el tiempo real en el que se observa la ocurrencia del n-´esimo
evento. Observe la igualdad de eventos X t n W n t ,esto equivale
adecir que al tiempo t han ocurrido por lo menos n eventos si, y s´olo si, el
n-´esimo evento ocurri´o antes de t.Una de las caracter´ısticas sobresalientes

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