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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 64 — #70
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64 3. Cadenas de Markov

de caracteres, y sorprendentemente ello suceder´a una infinidad de veces con
probabilidad uno. El lector puede encontrar otras maneras deresolver este
problema en [29].
El siguiente resultado lleva el nombre de erg´odico y establece el compor-
tamiento l´ımite del promedio en el tiempo de la funci´on que registra las
visitas a un estado cualquiera. El t´ermino erg´odico proviene del griego er-
gon que significa trabajo y hodos que significa trayectoria, fue acu˜nado por
L. Boltzmann al estudiar algunos problemas de la mec´anica estad´ıstica. La
famosa hip´otesis erg´odica establece que los promedios temporales son iguales
alos promedios espaciales enlos sistemas din´amicos, y estoes justamente
lo que se afirma en el siguiente resultado.

Teorema 3.1 (Teorema erg´odico para cadenas de Markov) Para
cualesquiera estados i y j de una cadena de Markov irreducible se cumple
que
N ij n 1
l´ım c.s. (3.4)
n n µ j

siendo este l´ımite cero cuando µ j .

Demostraci´on. Si la cadena es transitoria, entonces ambos lados de
la igualdad se anulan. Suponga que la cadena es recurrente. Eltiempo de

primera visita al estado j apartir de i es τ ij m´ın n 1: X n j X 0 i .
1, y entonces para
Dada la recurrencia e irreducibilidad, P τ ij
cualquier n 1se cumple laidentidad

N ij τ ij n 1 N jj n .
Por lo tanto es suficiente demostrar la convergencia para N jj n n pues

N ij n N ij τ ij n
l´ım l´ım
n n n τ ij n
1 N jj n
l´ım
n τ ij n
N jj n n
l´ım
n n τ ij n
N jj n
l´ım .
n n

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