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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 58 — #64
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58 3. Cadenas de Markov

Demostraci´on. Sea C una colecci´on no vac´ıa de estados que es irreducible
ycerrada, ysea i C .Entonces C C i pues como C es irreducible, todos
sus estados se comunican y por lo tanto deben pertenecer a la misma clase
de comunicaci´on. Como C es cerrada, no es posible salir de tal colecci´on,
de modo que la diferencia C i C es vac´ıa, pues si existiera j C i C ,
entonces i j,lo cual contradice elsupuesto de que C es cerrada. Por lo
tanto C C i . !

3.10. N´umero de visitas

En esta secci´on vamos a estudiar la variable aleatoria que registra el n´umero
de visitas que una cadena realiza sobre un estado j apartir del estado i,es
decir, para cualquier tiempo finito n se define la variable aleatoria
n
N ij n 1 X k j , cuando X 0 i.
k 1
Cuando los estados i y j coinciden, se escribe N i n en lugar de N ii n .
Observe que 0 N ij 1 N ij 2 ,es decir,se trata de una sucesi´on
mon´otona creciente de variables aleatorias no negativas que converge casi
seguramente a la variable

N ij 1 X k j , cuando X 0 i.
k 1
Los siguientes resultados acerca de estas variables aleatorias permiten distin-
guir la diferencia cualitativa en el comportamiento de los estados transitorios
respecto de los recurrentes.

Proposici´on 3.13 Para cualesquiera estados i y j,

1 si k 0,
a) P N ij k
k 1
f ij f jj si k 1.
1 f ij si k 0,
b) P N ij k k 1
f ij f jj 1 f jj si k 1.

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