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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 57 — #63
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3.9. Clases cerradas 57

De manera an´aloga, o bien intercambiando los valores de a y b,seencuentra

que µ 1 a b a.Observe que 1 µ 0 1 µ 1 1,m´as adelante explicaremos
la raz´on de ello. Observe tambi´en que estos dos tiempos medios de recurren-
cia son, en general, distintos. Esto ejemplifica el hecho de que los tiempos
medios de recurrencia no son necesariamente id´enticos paracada elemento
de una misma clase de comunicaci´on recurrente.

3.9. Clases cerradas

Las clases cerradas son subconjuntos de estados de una cadenade Markov
que cumplen la propiedad de que partiendo de cualquiera estado de este
subconjunto, no se puede pasar a cualquier otro estado fuera del subconjun-
to. Esta propiedad hace que a tales subconjuntos de estados seles considere
como subsistemas propios de la cadena de Markov, es decir, constituyen
subcadenas de Markov.

Definici´on 3.10 Una colecci´on de estados no vac´ıa C es cerrada si ning´un
estado fuera de C es accesible desde alg´un estado dentro de C ,es decir, si
para cualquier i C y j C , i j.

Por ejemplo, si i es un estado absorbente, entonces la colecci´on C i
es claramente una clase cerrada. M´as generalmente se tiene el siguiente
ejemplo.

Ejemplo 3.11 Demostreremos que toda clase de comunicaci´on recurrente
es cerrada. Sea C una clase de comunicaci´on recurrente. Es claro que esta
clase es cerrada pues de lo contrario, si i C y j C con C recurrente,
e i j,entonces necesariamente j i pues hemos supuesto que i es
recurrente. Por lo tanto i j,y entonces j C ,contrario a la hip´otesis
j C .En conclusi´on, no es posible salir de una clase de comunicaci´on
recurrente.

El siguiente resultado es una especie de rec´ıproco del ejemplo anterior y
caracteriza a aquellas clases cerradas que son irreducibles.

Proposici´on 3.12 Toda colecci´on de estados que es cerrada e irreducible
es una clase de comunicaci´on.

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