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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 63 — #69
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3.10. N´ umero de visitas 63

Ejemplo 3.13 (El problema del mono).Suponga queun mono escribe
caracteres al azar en una m´aquina de escribir. ¿Cu´al es la probabilidad de
que eventualmente el mono escriba exactamente, y sin ning´unerror, las
obras completas de Shakespeare?
Usaremos la teor´ıa de cadenas de Markov
para demostrar que la probabilidad bus-
cada es uno. Imaginemos entonces que un
mono escribe caracteres al azar en una
m´aquina de escribir, y que lo hace de
manera continua generando una sucesi´on
lineal de caracteres. Cada uno de los carac-
teres tiene la misma probabilidad de apare- Figura 3.14
cer y se genera un caracter independiente-
mente de otro. Sea m el total de caracteres disponibles que se pueden im-
primir, y sea N la longitud de caracteres de los cuales consta las obras com-
pletas de Shakespeare. Sea X n el n´umero de caracteres correctos obtenidos
inmediatamente antes e incluyendo el ´ultimo momento observado n,es de-
cir, se trata de un modelo de racha de ´exitos. Es claro que las variables X n
toman valores en el conjunto 0, 1, 2,... ,N ,y dado que los caracteres se
generan de manera independiente, el valor de X n 1 depende ´unicamente del
valor de X n yno de los anteriores, es decir, se trata efectivamente de una
cadena de Markov. Considerando entonces un conjunto de s´ımbolos de m
caracteres se tiene que

P X n 1 x 1 X n x 1 m
y P X n 1 0 X n x m 1 m.

El primer caso corresponde a obtener el caracter correcto al siguiente tiem-
po n 1. La segunda igualdad refleja la situaci´on de cometer un error en el
siguiente caracter generado cuando ya se hab´ıan obtenido x caracteres co-
rrectos. T´ecnicamente existen algunas otras posibles transiciones de algunos
estados en otros, pero ello no modifica substancialmente el comportamien-
to cualitativo del modelo. Como se ha observado, se trata de lacadena de
racha de ´exitos, y por lo tanto la matriz de probabilidades detransici´on es
finita, irreducible y recurrente. Entonces, con probabilidad uno la cadena
visita cada uno de sus estados una infinidad de veces. En particular, cada
vez que la cadena visita el estado N el mono concluye una sucesi´on exitosa

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