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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 53 — #59
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3.7. Recurrencia y transitoriedad 53

0 yde la cadena completa en el caso sim´etrico. La cadena es transitoria
cuando es asim´etrica.

Demostraremos a continuaci´on que la recurrencia y la transitoriedad son
propiedades de clase, es decir, si dos estados est´an en una misma clase de
comunicaci´on, entonces ambos estados son recurrentes o ambos son transi-
torios.

Proposici´on 3.9 La recurrencia es una propiedad de clase, es decir,

a) Si i es recurrente e i j,entonces j es recurrente.

b) Si i es transitorio e i j,entonces j es transitorio.
Demostraci´on. Como i j,existen enteros n 1y m 1tales que
p ij n 0y p ji m 0. Entonces p jj m n r p ji m p ii r p ij n .De
modo que, por la ecuaci´on de Chapman-Kolmogorov,

p jj m n r p ji m p ii r p ij n .
r 1 r 1
Si i es recurrente, la suma del lado derecho es infinita. Se sigue entonces
que la suma del lado izquierdo tambi´en lo es, es decir, j es recurrente. La
segunda afirmaci´on se demuestra f´acilmente por contradicci´on usando el
primer resultado. !

En consecuencia, cuando una cadena es irreducible y alg´un estado es recu-
rrente, todos los estados lo son, y se dice que la cadena es recurrente. Tam-
bi´en puede presentarse la
situaci´on en donde el es-
pacio de estados conste de Estados Estados
varias clases de comuni- transitorios recurrentes
caci´on recurrentes, en tal
caso la cadena tambi´en se
llama recurrente. En con- Descomposici´on del espacio de estados
traparte, una cadena es
transitoria si todos los es- Figura 3.13
tados lo son, ya sea confor-
mando una sola clase de comunicaci´on de estados transitorios o varias de

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