Page 62 - flip-procesos

✐ ✐

“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 54 — #60
✐ ✐

54 3. Cadenas de Markov

ellas. Sin embargo, demostraremos m´as adelante que cuando el espacio de
estados es finito, siempre existe por lo menos un estado recurrente, y por
lo tanto no existen cadenas finitas transitorias. De este modoel espacio
de estados de una cadena de Markov puede descomponerse en dos subcon-
juntos ajenos de estados, aquellos que son transitorios y aquellos que son
recurrentes. Tal partici´on se muestra en la Figura 3.13. Cada uno de estos
subconjuntos puede constar de ninguna, una o varias clases decomunicaci´on.

Ejemplo 3.8 La cadena de dos estados es irreducible y recurrente cuando
a, b 0, 1 .En efecto, tenemos que f 00 1 1 a,y f 00 n a 1 b n 2 b
para n 2.Por lo tanto,

ab
n 2
f 00 f 00 n 1 a ab 1 b 1 a 1.
b
n 1 n 2

Ejemplo 3.9 Considere la cadena de rachas de ´exitos. En este caso es
sencillo demostrar que el estado 0 es recurrente pues

q
2
f 00 f 00 n q 1 p p 1.
1 p
n 1

Dado que la cadena es irreducible y la recurrencia es una propiedad de clase,
cualquier otro estado es recurrente. Por lo tanto, la cadena es recurrente.

Veremos a continuaci´on algunos ejemplos de aplicaci´on delcriterio de la
Proposici´on 3.8.

Proposici´on 3.10 Sea j un estado transitorio. Para cualquier estado ini-
cial i,se cumple que n 1 ij n .En consecuencia, l´ım p ij n 0.
p
n

✐ ✐

✐ ✐