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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 40 — #46
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40 3. Cadenas de Markov

Proposici´on 3.2 (Ecuaci´on de Chapman-Kolmogorov) Para cualquier
par de n´umeros enteros r y n tales que 0 r n,y para cualesquiera esta-
dos i y j se cumple

p ij n p ik r p kj n r .
k

Demostraci´on. Por el teorema de probabilidad total y la propiedad de
Markov,

p ij n P X n j X 0 i

P X n j, X r k, X 0 i P X 0 i
k
P X n j X r k P X r k X 0 i
k
p kj n r p ik r .
k
!

En particular, la siguiente desigualdad ser´a utilizada m´as adelante: para
cualquier estado k ypara 0 r n,se tiene que

p ij n p ik r p kj n r .

Como una consecuencia importante de la ecuaci´on de Chapman-Kolmogorov
se tiene el siguiente resultado.

Proposici´on 3.3 La probabilidad de transici´on en n pasos, p ij n ,est´a da-
da por la entrada i, j de la n-´esima potencia de la matriz P,es decir,

p ij n P n ij .

Demostraci´on. Esta identidad es consecuencia de la ecuaci´on de Chap-
man-Kolmogorov aplicada n 1veces. Lasuma que aparece abajo corres-
ponde a la entrada i, j de la matriz resultante de multiplicar P consigo

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