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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 298 — #304
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298 9. C´ alculo estoc´ astico

Definici´on 9.6 Sean α y σ dos constantes positivas. El proceso de Ornstein-
Uhlenbeck es aquel proceso X t : t 0 soluci´on de la ecuaci´on estoc´astica

dX t αX t dt σ dB t , (9.15)
X 0 x 0 .
ydado por
t
X t x 0 e αt σ e α t s dB s . (9.16)
0
La variable X t se interpreta como la velocidad de una part´ıcula al tiempo t.
La parte determinista αX t corresponde a la fuerza de fricci´on, y el suman-
do σ dB t es un ruido aleatorio. En la Figura 9.7 se muestra una simulaci´on
de una trayectoria de este
proceso y se compara con
E X t ,que calcularemos X t ω
m´as adelante. El proce- 4
so muestra un decaimien- x 0 3
3 α 1
to conforme el tiempo avan-
σ 1
za y ello es debido al fac- 2
tor de fricci´on del mode-
1
lo. Es inmediato verificar E X t
que los coeficientes de la t
ecuaci´on (9.15) satisfacen 1 2
las condiciones del teore-
Figura 9.7
ma de existencia y unicidad
para ecuaciones estoc´asti-
cas. Verificaremos entonces que (9.16) es efectivamente la soluci´on a la
ecuaci´on (9.15). Considere una soluci´on de la forma:
t
X t a t x 0 b s dB s , (9.17)
0
en donde a t y b t son funciones diferenciables. Derivando (9.17) y usando
la f´ormula de Itˆo (9.12) se obtiene
t
dX t a t x 0 b s dB s dt a t b t dB t
0
a t
X t dt a t b t dB t .
a t

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