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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 250 — #256
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250 8. Movimiento Browniano

tiene longitud b a n.Entonces se tiene la estimaci´on

n 1 n 1
2
∆B i m´ax ∆B i ∆B i . (8.2)
0 i n
i 0 i 0
: k 1 una subsucesi´on de particiones uniformes tal que
Sea P n k
n k 1
l´ım ∆B i 2 b a, c.s.
k
i 0
Por otro lado, como las trayectorias del movimiento Browniano son conti-
nuas casi seguramente, se tiene que

l´ım m´ax ∆B i 0, c.s.
k 0 i n k

Substituyendo los ´ultimos dos resultados en (8.2) se obtiene que, respecto
de la subsucesi´on de particiones,

n k 1
l´ım ∆B i , c.s.
k
i 0
De donde se sigue que el l´ımite superior es infinito casi seguramente. !

No diferenciabilidad
Demostraremos a continuaci´on que para cualquier tiempo t 0 0fijo, con
probabilidad uno la trayectoria t B t no es diferenciable en t 0 .M´as ade-
lante se enuncia sin demostraci´on un resultado m´as fuerte acerca de esta no
diferenciabilidad.

Proposici´on 8.6 Sea t 0 0 fijo. Con probabilidad uno, el movimiento
Browniano B t : t 0 no es diferenciable en t 0 .

Demostraci´on. Debido a que B t 0 t B t 0 : t 0 es tambi´en un
movimiento Browniano, es suficiente demostrar la no diferenciabilidad de
B t en t 0. Demostraremos que con probabilidad uno, para cada n´umero
natural n existe t en el intervalo 0, 1 n 2 tal que 1 B t n.Esta propiedad
t

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