Page 142 - flip-procesos

✐ ✐

“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 134 — #140
✐ ✐

134 4. El proceso de Poisson

4.5. Proceso de Poisson mixto

En esta generalizaci´on del proceso de Poisson se considera que el par´ametro
λ no es constante sino una variable aleatoria.

Definici´on 4.6 Sea Λ una variable aleatoria positiva con funci´on de dis-
tribuci´on F λ .Se diceque el proceso deconteo X t : t 0 es un proceso
de Poisson mixto con variable mezclante Λ si para cada entero n 1,y
cada sucesi´on de enteros no negativos k 1 ,... ,k n ,y cualesquiera tiempos
0 a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n se cumple la igualdad

k n
P X b 1 X a 1 k 1 ,X b 2 X a 2 k 2 ,... ,X b n X a n
n
λ b i a i k i
e λ b i a i dF λ . (4.4)
k i !
0 i 1
Cuando la variable aleatoria mezclante Λ es constante e iguala λ,elproceso
de Poisson mixto se reduce al proceso de Poisson.

Proposici´on 4.12 El proceso de Poisson mixto cumple las siguientes pro-
piedades.

1. Tiene incrementos estacionarios.
2. En general los incrementos no son independientes. Lo son enel caso
del proceso de Poisson.

3. E X t tE Λ .
2
4. Var X t t Var Λ tE Λ .
5. Cov X t ,X t s X t st Var Λ , s, t 0.

Estas propiedades se obtienen condicionando sobre el valor de la variable
aleatoria Λ ysus demostraciones se dejan como ejercicio al lector.
Notas y referencias.El estudio delproceso de Poisson generalmente se
incluye en los cursos elementales de procesos estoc´asticos. La mayor´ıa de los
textos sobre procesos estoc´asticos que aparecen en la bibliograf´ıa cuentan
por lo menos con una secci´on sobre este tema. Algunos textos espec´ıficos que
dedican un cap´ıtulo entero para el proceso de Poisson y que ellector puede

✐ ✐

✐ ✐