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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 130 — #136
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130 4. El proceso de Poisson

es decir, para n 0, 1,...

Λ t n
Λ t
P X t n e .
n!
Demostraci´on. La prueba es an´aloga a una de las realizadas en el caso ho-
mog´eneo. Se define nuevamente p n t P X t n yse considera cualquier
h 0. Denotaremos por p n t, t h ala probabilidad P X t h X t n .
Por la hip´otesis de independencia, para t 0y cuando h 0,

p 0 t h p 0 t p 0 t, t h
p 0 t 1 λ t h o h .

Calculando la derivada se obtiene la ecuaci´on diferencial p t λ t p 0 t ,
0
cuya soluci´on es p 0 t ce Λ t ,en donde la constante c es uno debido a
la condici´on inicial p 0 0 1. Ahora encontraremos p n t para n 1.
Nuevamente por independencia,

p n t h p n t p 0 t, t h p n 1 t p 1 t, t h o h
p n t 1 λ t h o h p n 1 t λ t h o h o h .

Entonces p t λ t p n t λ t p n 1 t ,con condici´on inicial p n 0 0
n
para n 1. Definiendo q n t e Λ t p n t la ecuaci´on diferencial se trans-
forma en q t λ t q n 1 t ,con condiciones q n 0 0y q 0 t 1. Esta
n
ecuaci´on se resuelve iterativamente primero para q 1 t ,despu´es para q 2 t ,y
as´ı sucesivamente, en general q n t Λ t n n!y de aqu´ı se obtiene p n t .
!

Las trayectorias de un proceso de Poisson no homog´eneo son semejantes
alas trayectorias de unproceso de Poisson, es decir, son trayectorias no
decrecientes y con saltos unitarios hacia arriba, pero la frecuencia promedio
con la que aparecen los saltos cambia a lo largo del tiempo. De manera
an´aloga al caso homog´eneo, los incrementos de este procesotambi´en tienen
distribuci´on Poisson.

Proposici´on 4.9 Para el proceso de Poisson no homog´eneo, la variable
incremento X t s X s tiene distribuci´on Poisson Λ t s Λ s .

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