Page 137 - flip-procesos

✐ ✐

“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 129 — #135
✐ ✐

4.3. Proceso de Poisson no homog´ eneo 129

de interarribo no son necesariamente exponenciales, en tal caso se pierde
la propiedad de Markov del proceso. A este tipo de procesos se les llama
procesos de renovaci´on.

4.3. Proceso de Poisson no homog´eneo

Se considera ahora que el par´ametro λ del proceso de Poisson no es ne-
cesariamente una constante sino una funci´on del tiempo. A veces a este
proceso se le llama tambi´en proceso de Poisson con par´ametro dependiente
del tiempo. Este modelo puede ser naturalmente m´as adecuadoparaalgunas
situaciones reales aunque deja de cumplir la propiedad de Markov.
Definici´on 4.4 Un proceso de Poisson no homog´eneo es un proceso a tiem-
po continuo X t : t 0 ,con espacio de estados 0, 1,... ,con par´ametro
la funci´on positiva y localmente integrable λ t ,y que cumplelas siguientes
propiedades:

a) X 0 0.
b) Los incrementos son independientes.
c) Para cualquier t 0,y cuando h 0,

i) P X t h X t 1 λ t h o h .
ii) P X t h X t 2 o h .
Comparando esta definici´on con la Definici´on 4.2 de proceso de Poisson se
observa mucha similaridad excepto por dos aspectos: en lugarde la constante
λ se escribe ahora la funci´on λ t ,y la hip´otesis de incrementos estacionarios
ya no aparece. Ello es consecuencia de que el par´ametro var´ıa con el tiempo,
generalmente de manera decreciente. Es decir, la distribuci´on de probabili-
dad de la variable incremento X t s X s depende de los valores de la funci´on
λ en el intervalo s, s t .Sin embargo, y en completa analog´ıa con elcaso
homog´eneo, la variable X t contin´ua teniendo distribuci´on Poisson, como a
continuaci´on demostraremos.
Proposici´on 4.8 La variable X t en un proceso de Poisson no homog´eneo
de par´ametro λ t tiene distribuci´on Poisson Λ t ,en donde se define
t
Λ t λ s ds,
0

✐ ✐

✐ ✐