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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 128 — #134
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128 4. El proceso de Poisson

Estos c´alculos y lo desarrollado antes demuestran que Def. 4.2 Def. 4.3 .
Tambi´en antes hemos demostrado que Def. 4.1 Def. 4.3 .Para de-
mostrar Def. 4.3 Def. 4.1 es necesario comprobar que los tiempos
de interarribo T 1 ,T 2 ,... son independientes con distribuci´on exp λ .Dare-
mos una demostraci´on no completamente rigurosa de este resultado. Sean
t 1 ,... ,t n 0tiempos cualesquiera y sean ∆t 1 ,... , ∆t n las longitudes que
se muestran en la Figura 4.5.

t 1 ∆t 1 t 2 ∆t 2 t n ∆t n

0
Figura 4.5

La probabilidad de que T 1 tome un valor en el intervalo ∆t 1 , T 2 tome un
valor en el intervalo ∆t 2 ,y as´ısucesivamente es

t 1 ,... ,t n ∆t 1 ∆t n
f T 1,...,T n
e λt 1 e λ∆t 1 λ∆t 1 e λt 2 e λ∆t 2 λ∆t 2 e λt n e λ∆t n λ∆t n
λ e λt 1 λ e λt 2 λ e λt n ∆t 1 ∆t n e λ ∆t 1 ∆t n

Al hacer ∆t 1 ,... , ∆t n 0se obtiene

f T 1 ,...,T n t 1 ,... ,t n λ e λt 1 λ e λt 2 λ e λt n .
Esto demuestra que las variables T 1 ,... ,T n son independientes y cada una
de ellas tiene distribuci´on exp λ .En conjunto esto demuestra que

Definici´on 4.1 Definici´on 4.3 Definici´on 4.2 .

!

Observe que la pregunta acerca de la existencia de un proceso estoc´astico
que cumpla los postulados de las Definiciones 4.2o 4.3queda resuelta al
verificar la equivalencia de tales postulados con la definici´on constructiva
4.1. Presentaremos a continuaci´on algunas generalizacionesdel proceso de
Poisson. Una de tales generalizaciones que estudiaremos conmayor detalle
en un cap´ıtulo m´as adelante es aquella en la que se consideraque las variables

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