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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 309 — #315
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309

b) Inversamente, si a k 0y l´ım t 1 k 0 a k t k ,entonces

k
a k l´ım a k t .
t 1
k 0 k 0
En Karlin y Taylor [17] puede encontrarse una demostraci´on de estos resul-
tados.

Lema de Fatou
a) Sea a nm : n, m N una colecci´on de n´umeros reales. Entonces

l´ım inf a nm l´ım inf a nm .
n n
m m
b) Adem´as, si a nm b m con b m ,entonces
m
l´ım sup a nm l´ım sup a nm .
n n
m m
Teorema de convergencia mon´otona
Sea X 1 ,X 2 ,... una sucesi´on de variables aleatorias tales que 0 X 1
X 2 yl´ım X n X casi seguramente. Entonces
n

l´ım E X n E l´ım X n .
n n
Teorema de convergencia dominada

a) Sea X 1 ,X 2 ,... una sucesi´on de variables aleatorias tales que l´ım X n
n
X casi seguramente, y para cada valor de n, X n Y ,para alguna variable
Y con E Y .Entonces,

l´ım E X n E l´ım X n .
n n
b) Sea a nm : n, m N una colecci´on de n´umeros reales tales que l´ım n a nm
existe para cada m, a nm b m ,independiente de n,y b m .En-
m 0
tonces,
l´ım a nm l´ım a nm .
n n
m 0 m 0

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