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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 304 — #310
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304 9. C´ alculo estoc´ astico

9.6. Ejercicios

Integral de Itˆo

232. Demuestre que dos procesos simples pueden siempre expresarse en
t´erminos de una partici´on com´un. Con ayuda de este resultado de-
muestre ahora que el espacio de procesos simples es un espaciovecto-
rial.
233. Demuestre que la integral estoc´astica para procesos simples I : H 2 0
2
L P es lineal y continua.
234. A partir de la definici´on de integral estoc´astica demuestre que:
t t
a) sdB s tB t B s ds.
0 0
t 1 t
2
b) B dB s B 3 B s ds.
s
t
0 3 0
Para el segundo inciso se puede usar la identidad
1
2
x y x x y x 2 y 3 x 3 y x 3 .
3
F´ormula de Itˆo

235. Use la f´ormula de Itˆo para demostrar que:

t 1 t
2
a) B dB s B 3 B s ds.
t
s
0 3 0
t 1 1 t
n
b) B dB s B t n 1 nB n 1 ds.
s
s
0 n 1 2 0
236. Use la f´ormula de Itˆo para demostrar que el proceso X t : t 0 es
una soluci´on de la ecuaci´on estoc´astica indicada.
2
a) X t B , dX t dt 2B t dB t .
t
3 1 3 2 3
b) X t B , dX t 3X t dt 3X t dB t .
t
X t
c) X t tB t , dX t dt tdB t .
t

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