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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 362 — #368
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362 5. Teoremas l ´ ımite

511. Sea X una variable aleatoria con f.g.m. Mptq. Demuestre que para
t ą 0y x ą 0,
PpX ě xq ď e ´tx Mptq.

512. Sea X una variable aleatoria tal que VarpXq“ 0. Demuestre que
existe una constante c tal que PpX “ cq“ 1.
Nota. Compare este enunciado con el resultado en el caso discreto que
aparece en el Ejercicio 249, en la p´agina 183.

513. Markov ñ Chebyshev. Sea X una variable aleatoria con varianza
finita. Demuestre la desigualdad de Chebyshev (5.1) para esta variable
aleatoria, a partir de la desigualdad de Markov (5.2).

514. La desigualdad de Chebyshev es ´optima. Este resultado demues-
tra que, sin hip´otesis adicionales, la cota superior dada por la desigual-
dad de Chebyshev es ´optima, es decir, no puede establecerse una cota
superior m´as peque˜na. Sea X una variable aleatoria discreta con fun-
ci´on de probabilidad

$
’ 1{18 si x “´1, 1,
&
fpxq“ 16{18 si x “ 0,
’
0 en otro caso.
%
2
a) Calcule la esperanza µ y la varianza σ de esta variable aleatoria.
b) Ahora calcule exactamente Pp|X´µ| ě 3σq y compruebe que esta
cantidad coincide con la cota superior dada por la desigualdad
de Chebyshev.

2
515. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on Npµ, σ q.
a) Use la desigualdad de Chebyshev para estimar el valor m´ınimo
del n´umero real k ą 0 de tal modo que la probabilidad de que X
tome un valor entre µ ´ kσ y µ ` kσ sea, al menos, 0.95 .
b) Use la tabla de la distribuci´on normal para encontrar el valor de
k que cumpla la condici´on del inciso anterior.
516. Sea Φpxq la funci´on de distribuci´on Np0, 1q. Use la desigualdad de
Chebyshev para demostrar que para cualquier x ą 0,

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