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4 1.2. σ-´ algebras

En probabilidad elemental el conjunto Ω denota el espacio muestral o con-
junto de posibles resultados de un experimento aleatorio, y los elementos
de F representan eventos en el experimento aleatorio. Una σ-´algebra es
entonces una estructura que nos permite agrupar ciertos subconjuntos de Ω
de inter´es, aquellos a los cuales se desea calcular su probabilidad, y esta es-
tructura constituye el dominio de definici´on de una medida deprobabilidad.
Cuando el espacio muestral es finito normalmente se toma como σ-´algebra
el conjunto potencia de Ω,pero para espacio muestrales m´as generales no
siempre puede tomarse esa estructura tan grande, y deben considerarse en-
tonces σ-´algebras m´as peque˜nas, es por ello que se estudian estas estructu-
ras. En general existen varias σ-´algebras que pueden asociarse a un conjunto
cualquiera no vac´ıo Ω como se muestra a continuaci´on.

Ejemplo Sea Ω un conjunto cualquiera no vac´ıo. Es inmediato comprobar
que cada una de las siguientes colecciones es una σ-´algebra de subconjuntos
de Ω.La σ-´algebra del primer inciso es la σ-´algebra m´as peque˜na que po-
demos asociar a un conjunto cualquiera Ω,y la σ-´algebra del ´ultimo inciso
es la m´as grande.

a) F 1 = {∅, Ω}.
c
b) F 2 = {∅,A,A , Ω}, en donde A ⊆ Ω.
Ω
c) F 3 =2 , conjunto potencia.
!
Ejemplo.Sean A y B subconjuntos de Ω tales que A ⊆ B.La siguiente
colecci´on es una σ-´algebra de subconjuntos de Ω que contiene expl´ıcitamente
alos conjuntos A y B.¿Puede usted verificar talafirmaci´on con la ayuda
de un diagrama de Venn?

c c c
F = {∅,A,B,A ,B ,B − A, (B − A) , Ω}

!

Ejercicio. Sea Ω un conjunto no numerable. Demuestre que la colecci´on
c
F dada por {A ⊆ Ω : A o A es finito o numerable} es una σ-´algebra. !