Interpolación y Aproximación polinomial


En muchas aplicaciones estamos interesados en describir el comportamiento de un conjunto de datos para entonces poder predecir su comportamiento hacia el interior del conjunto.
 
 

Interpolación polinomial, o los partos dolorosos

Contando con una colección de n puntos (Xi, Yi) distintos en en el plano del Teorema fundamental del álgebra, existe un único polinomio de grado n-1 que interpola a dichos puntos.
 

Si  es un polinomio de grado n-1, este se encuentra en el espacio generado por , esto es

y entonces existe una única combinación lineal tal que

Ahora bien,  es el polinomio de grado n-1 que resuelve el problema de interpolación

entonces tendremos un conjunto de ecuaciones lineales

un sistema de n ecuaciones lineales, el cual puede ser expresado en forma matricial como

Ac=y

donde A es la matriz de Vandermonde

c es el vector de coeficientes y y las ordenadas de los puntos.
La matriz de Vandermonde es no singular y no requiere pivoteo, siempre que los puntos Xi se encuentren ordenados.
Por otra parte la mtriz de Vandermonde es una matriz muy mal condicionada.
 

Ejercicio

Dada la función de Runge, f(x)= 1/(1+25x^2), encuentre los polinomios de interpolación a la función en un intervalo [-1 1] usando 5, 8 y 10 puntos igualmente espaciados del intervalo.
 
  1. Grafique la función de Runge y genere los puntos (xi, yi) de prueba.
  2. Construya una rutina para generar la matriz de Vandermonde.
  3. Resuelva el sistema por descomposición LU con o sin pivoteo.
  4. Construya una rutina para evaluar polinomios usando la regla de Horner.
  5. Grafique los polinomios
En cada caso, investigue el número de condición de la matriz de Vandermonde en uso.

El problema de interpolación polinomial es un problema mal condicionado, experimente con el programa en java
 Interpolación con polinomios y con splines para observar el comportamiento de la interpolación polinomial.
 
Pero no siempre estamos interesados en obtener el polinomio que pase por los puntos. En ocasiones nos interesa saber el comportamiento de los dato o estimar ese comportamiento atravéz del comportamiento de las funciones polinomiales. Si nuestros datos siguen una tendencia y consideramos puede ser aproximada por un polinomio de grado menor, mucho menor que el número de datos, podemos intentar aproximar el residual de la aproximación del modelo polinomial por un problema de mínimos cuadrados y obtener las Ecuaciones Normales asociadas. Esto lo podemos extender a modelos no lineales.