MATHEMATICS FOR OR FROM?
Review by Pedro Miramontes

Matemáticas para las Ciencias Naturales
By José Luis Gutiérrez Sánchez & Faustino Sánchez Garduño
Sociedad Matemática Mexicana, México DF, 1998

From my point of view, one of the most puzzling riddles is the simultaneous lack of books of mathematics dedicated
to undergraduate students of biology and the explosive growth of mathematical and theoretical biology as a
legitimate branch of science. Since the apparition in the early seventies of the texts by Batschelet and
Clow & Urquhart, there have been no noticeable efforts to write textbooks of mathematics specifically devoted to students of natural or life sciences. Paradoxically, we are experiencing the best time of biomathematics:
Mathematics is no longer just a tool or a method to be applied on biological problems; mathematics and biology
are engaged in a creative and mutually beneficial interplay and the later has became a source of mathematical
ideas: The spreading of chaos theory was enormously boosted by the work of Bob May in theoretical population
dynamics, the mathematical theories of neural networks, cellular automata, evolutionary programming and genetic
algorithms, just to mention a few, came from biology to mathematics. Most of the professionals of biology are
missing this revolution: a fast look to the indices of the journals specialized in biomathematics and theoretical
biology shows that physicists and mathematicians dominate the field. It is not farfetched to say that the negligence
in producing high-quality educative tools for the future biologists is to be blamed for this pernicious trend.
In these circumstances, the appearance of the book Matemáticas para las Ciencias Naturales by José Luis Gutiérrez Sánchez and Faustino Sánchez Garduño must be greeted. This it is a book that comes to fill a gap and it does
it very well. The aforementioned classical texts by Batschelet and Clow & Urquhart are essentially books of
mathematics containing a lot of biological examples but their construction followed the 70’s fashion of devoting
a lot of effort to discuss set theory and then relations and functions to establish the foundations of differential and
integral calculus.
This way of presentation could be (I doubt it) correct for the students of mathematics but less attractive for
physicists and engineers and, softly speaking, questionable for biologists. The work of Gutiérrez Sánchez and
Sánchez Garduño (GS-SG) is a novel and original contribution: it is rather a book of highly mathematized biology
in which the mathematical concepts arise when they are necessary to advance in the knowledge of some biological phenomenon. Edward Batschelet wrote in the prologue to the first edition of his book: "A few decades ago
mathematics played a modest role in life sciences. Today, however, a great variety of mathematical methods is
applied in biology and medicine", the philosophy of GS- SG seems to be the same after changing is applied
"in by is coming from”. The authors have been very careful in not to yield to the common temptation to write
senseless exercises of the type "suppose to biological phenomenon follows the law y=1/3 xˆ3 - xˆ2 -3x + 3, locate
the highest and lowest points of the curves" that are abundant in other texts, instead they try to teach mathematics
once the student first engages in the biology of the exercises. The book is not free of problems: The publishing work
is poor, the figures can be improved a lot and, by incredible that it seems; there are no subject or authors indices.
The sections dedicated to the laws of Newton and Kepler as well as the section about the notion of work in physics
are a well-intentioned attempt to increase the scientific culture of the readers but I wonder whether or not the effect
will not be the opposite; regrettably, most of the students of biology are there because they do not like physics.
The book is pleasant and it is written in good Latin American Spanish but to the readers who do not know the
Castilian language it will be perhaps of little motivation to know that this is the language spoken as a first language
by the most people in the world. It is evident to me that the book deserves a careful edition and, urgently, a translation to English. The first edition is limited to 2500 copies and its distribution will hardly trespass the borders of Mexico.
This is a pity because this work might contribute to wake up a mathematical interest among the students and, eventually, to contribute to incorporate tomorrow’s biologists to the construction of a much-needed theoretical
biology.

Pedro Miramontes is professor of mathematics at the Universidad Nacional Autónoma de México.




Buss y Faus en el País de las Matemáticas

Antonio Lazcano Araujo
Departamento de Biología
Facultad de Ciencias, UNAM
E-mail: alar@hp.fciencias.unam.mx


En el siglo segundo de nuestra era Flegón, un liberto griego del Emperador Adriano, publicó un libro titulado
Historias Extraordinarias. Fiel al espíritu de la época, Flegón incluyó en su obra relatos que hoy se antojan
excesivos, como el del nacimiento de un niño con cuatro cabezas que fue presentado ante Nerón, otro más sobre
una mujer de Alejandría que en cuatro ocasiones tuvo a quíntuples, y un tercero en torno al extraño caso de la
sirvienta de un comandante de la Guardia Pretoriana que en plenao comienzo de la era cristiana dió a luz a un pequeño simio en Roma.

A pesar de lo que se pudiera creer, el interés de Flegón no se limitaba a los partos anómalos, e incluyó en su
libro un relato pormenorizado sobre los efectos de un terremoto que afectó Sicilia y el sur de Italia durante el
reinado de Tiberio. El temblor hizo que se agrietara el suelo y, como escribió Flegón, "sus fisuras mostraron los
restos de seres de grandes dimensiones. Los nativos se sorprendieron y no quisieron mover los cuerpos de los
gigantes, pero recogieron el diente de uno de ellos, que medía mas de un pie de largo, y lo enviaron a Roma.
Los enviados se lo mostraron al Emperador Tiberio, y se le preguntó si deseaba que le hicieran llegar a Roma los
restos de esos seres extraordinarios. Para evitar profanar las tumbas y cometer una impiedad, decidió no remover
los cuerpos, pero no se quiso privar de conocer las dimensiones de aquellos seres heroicos de otros tiempos. Por
ello, el Emperador tomó una decisión sabia, e hizo llamar a un geómetra renombrado, de nombre Pulcher, a quien mucho apreciaba por su sabiduría. Una vez que éste estuvo ante la presencia de Tiberio, el Emperador le ordenó
reconstruir del rostro del gigante, cuyo tamaño tenía que respetar la escala de aquel diente. Pulcher siguió con
prontitud las órdenes del Emperador, y calculó las proporciones de la cara y el cuerpo entero tomando como
referencia las dimensiones del diente. Modeló luego la cara y se lo mostró al Emperador, el cual se declaró
satisfecho con lo que había visto, y envió de regreso el diente de donde había recolectado."
(in Lewis, N. and Reinhold, M. (eds), 1966, Roman Civilization Sourcebook II: The Empire, Harper Torchbooks,
New York).

"Uno no debería desconfiar de estas historias", agregó Flegón antes de cerrar su relato, "puesto que reflejan que
en el pasado la Naturaleza se prodigaba y todo lo generaba con dimensiones cercanas a las de los dioses, pero a medida que transcurría el tiempo, se marchitaban los tamaños de las criaturas engendradas por la tierra." A pesar
del desdén que la obra de Flegón le ha inspirado a los estudiosos del mundo clásico, me gustaría saber más de Pulcher, el geómetra. No es sino un nombre más en la lista de personajes sin rostro que nos dejó el mundo
grecolatino, pero es el antecedente mas antiguo que conozco de un estudioso de las matemáticas que aplicó las
reglas del crecimiento relativo de las partes de un organismo recurriendo a lo que debe haber sido una formulación
semi-empírica de la alometría.

¿Qué tanto profundizaron los antiguos en torno a éste concepto? Aunque se podría sospechar que atrás de la
historia de Flegón se encuentran los conceptos de simetría y estructura corporal con los cuales cualquier escultor
del mundo grecorromano hubiera estado familiarizado, no deja de llamar la atención que fuera un geómetra
(es decir, alguien dedicado a las matemáticas) quien recibiera el llamado del Emperador para reconstruir el cuerpo
del gigante (que probablemente era parte de un fósil de mamut). Pulcher debe haber conocido, aunque sea en
forma empírica, algunas de las reglas básicas del crecimiento alométrico. Como afirman José Luis Gutiérrez Sánchez
y Faustino Sánchez Garduño al glosar a Ludwig von Bertalanffy en su libro Matemáticas para las Ciencias Naturales,
que hoy nos convoca, este puede ser de forma y = bxa, en cuyo caso corresponde a la ley de crecimiento relativo
mas sencilla que se conoce. Cualquiera que se asome a La Traza General, la segunda parte y sin duda alguna la
más atractiva del texto de José Luis y Faustino, descubrirá de inmediato que atrás de esa aparente simplicidad se encierran posibilidades didácticas extraordinarias. Sin encerrarse en lo que ellos mismos llaman "juego mas
o menos diestro del álgebra", demuestran como la ecuación se puede generalizar para que los estudiantes de las
ciencias naturales puedan, a partir de la relación peso y talla, comprender los casos en que el crecimiento no
cumple la ley alométrica general, y culminan con un modelo no lineal cuyas posibilidades de aplicación se
concretan en el análisis de los datos de campo de una poblacción de ostiones de los esteros de Sinaloa que fue
estudiada en detalle por miembros de nuestro Departamento de Matemáticas.

¿Qué es lo que se encierra atrás de una fórmula que a pesar de su simplicidad es capaz de describir el desarrollo
de un ser vivo?. La lectura de Life's Other Secret: the new mathematics of the living world (1998, Penguin/Wiley,
New York), que Ian Stewart publicó hace apenas unos meses, demuestra que aún subsiste la antigua tradición
pitagórica que considera a las propiedades de los números como la base sobre la cual descansa la estructura de
un Universo que se mueve al ritmo que le marcan las propiedades de los cocientes y las proporciones. La cabala
puede ser fascinante, pero resulta mucho mas útil y prudente recordar las palabras de von Bertalanffy, que afirmó
en su General System Theory (1968, Braziller, New York), que existen muchos fenómenos del metabolismo, la bioquímica, la morfogénesis, y la evolución, que siguen precisamente la formula y = bxa, y agregó que "a pesar
de su carácter simplificado y de sus limitaciones matemáticas", escribió von Bertalanffy, "el principio de la
alometría es una expresión de la interdependencia, organización y armonización de procesos fisiológicos".

A diferencia del Pato Donald y otros pitagóricos, Faustino y José Luis no llevan tatuados en las manos pentágonos
con estrellas de cinco picos. Por el contrario, se saben discípulos de una escuela que pretende no solo "adaptar el
modo de pensar del matemático a las ciencias de la vida" sino también comprender, desarrollar, y enseñar la
filosofía de la que hablaba von Bertalanffy. Aunque su libro se titula Matemáticas para las Ciencias Naturales, no
es difícil adivinar atrás de los ejemplos que citan cual es su amor fundamental: el de las ciencias biológicas, lo
cual los hace parte de un grupo de profesores e investigadores de nuestra universidad embarcado en la tarea de
construir y difundir una disciplina que se pueda legítimamente llamar biología teórica.

¿De donde arranca este empeño que pretende unir a dos disciplinas aparentemente tan disímbolas como las matemáticas y la biología? José Luis y Faustino afirman que buena parte de los orígenes se encuentran en los
trabajos de los años treinta de von Bertalanffy sobre la teoría de los sistemas y en sus aplicaciones al estudio de
las ciencias de la vida. Sospecho que el origen puede ser mas antiguo. Todos conocemos los hilos conductores
que llevan, por ejemplo, a la discusión de Galileo sobre el grosor de los huesos en sus Diálogos sobre Dos Nuevas
Ciencias, los cálculos medio tramposos que hizo Mendel de las frecuencias de sus híbridos, y a la demografía
malthusiana, a la que José Luis y Faustino dedican un análisis detallado, crítico y comprometido. Sin embargo, es
probable que el impulso inicial mas estimulante haya sido la matematización de la teoría de la selección natural.
El propio Darwin no era especialmente afecto a las matematica y veía con cierto escepticismo los argumentos de
su primo Francis Galton, pero como lo demuestra el ejemplo de Karl Pearson y la serie de artículos que publicó a
finales del siglo pasado bajo el título de Mathematical Contributions to the Theory of Evolution, esos prejuicios
fueron rápidamente superados. La generación siguiente fué todavía mas lejos. Entrado el siglo veinte, la teoría
matemática de la genética de poblaciones, desarrollada con extraordinaria acuciosidad por investigadores de la
talla de Ronald A. Fischer, Sewall Wright, y John B. S. Haldane, no solo preparó el camino para el nacimiento del
neodarwinismo, sino que también contribuyó a legitimar los enfoques cuantitativa de las ciencias biológicas.

Curiosamente, en el libro de José Luis y Faustino no encontré mención alguna a D'Arcy Wentworth Thompson,
sombra tutelar de los biólogos matemáticos y de los matemáticos interesados en la biología. Heredero de las
mejores tradiciónes intelectuales británicas y ejemplo prototípico del gentleman victoriano, Thompson era un
zóologo escocés sumamente cultivado que transitaba con igual facilidad de los clásicos griegos a la geometría euclidiana. Aunque era demasiado cortés para hacer explícito su escepticismo por las explicaciones darwinistas,
en 1917 publicó su célebre On Growth and Form (1917, Cambridge University Press, Cambridge, y reimpreso en 1942)
un tratado elegante y bien estructurado en donde intentó describir los principios físicos que subyacen las formas
biológicas, y que se puede leer como un homenaje tardío pero estimulante a la filosofía de Pitágoras. La lectura
del libro de Thompson es una zambullida gozosa en la interdisciplina: por sus páginas fluyen en sucesión
interminable los principios matemáticos que subyacen las celdas de un panal de abejas, la espiral logarítimica
que describe lo mismo la forma de los caracoles que los cuernos de los carneros, y la precisión con la que las
espinas de las suculentas y las inflorencias de las compuestas obedecen las reglas de Fibonacci. Al igual que
algunos de sus contemporáneos, Thompson estaba convencido de que las formas geométricas de los organismos
representaban soluciones optimizadas con las que la materia viva respondía en forma plástica y polifilética ante
la acción directa de las fuerzas físicas. Pocos creen eso hoy en día, pero como anotó hace ya casi veinte años
Stephen Jay Gould (1980, The Panda?s Thumb: more reflections in natural history, W. W. Norton & Co., New York),
los trabajos de David Raup con fósiles de gasterópodos y amonites sugieren que en algunos casos es posible
explicar la forma de los organismos y sus partes reconociendo la manera en que están determinadas jerárquicamente
por unos cuantos factores mucho mas sencillos pero interconectados --que es precisamente parte de lo que afirmaba
Thompson.

Es cierto que D'Arcy W. Thompson exageró en algunas ocasiones y se equivocó en otras, pero es fácil reconocer
su actitud visionaria y su contribución al acercamiento de dos ciencias hasta entonces tan ajenas, lo que ayudó a la
gestación de una óptica novedosa y más precisa de la biología. No fue el único. Basta asomarse a los trabajos de
Volterra, Lotka, Gaus, Kermack y McKendrick, con su teoría sobre la difusión de las epidemias, y Ravshevsky
(un personaje complejo cuya biografía intelectual aún está por escribirse), para identificar de inmediato la
existencia de toda una generación que se sientó cautivada por los problemas biológicos y de la que son herederos,
conscientes o no, muchos de los matemáticos que trabajan en modelos y problemas de las ciencias de la vida.
Como lo demuestran algunas de las notas de pie de página del libro de José Luis y Faustino, los apellidos que
portan las ecuaciones encierran biografías y momentos científicos insospechados. Desde 1901 Vito Volterra, un
matemático, aviador, y senador italiano antifascista que había alcanzado una reputación internacional por sus
trabajos sobre ecuaciones diferenciales y la teoría de funcionales, se había interesado en el problema de la
elasticidad, y a partir de allí había comenzado a reflexionar sobre el significado que tienen los modelos para
estudiar disciplinas alejadas de las ciencias físicas. El interés de Volterra permaneció latente pero incólume durante
varios años, y no fue sino hasta 1925 cuando su yerno, el zóologo Umberto D'Ancona, se acercó a él con los registros
de pesquería de los puertos de Venecia, Fiume y Trieste. Las batallas marinas en el Adriático durante la Primera
Guerra Mundial habían frenado la pesca, lo cual limitó los efectos de la actividad humana sobre el equilibrio natural
entre las distintas especies de peces, que habían retornado a sus niveles normales. Volterra se aproximó al
problema de la interacción entre dos especies con un enfoque que algunos han tachado de mecanicista, pero que
demuestra su ingenio y originalidad. Supuso que las poblaciones eran equivalentes a dos sistemas de partículas
que se movían al azar en un recipiente cerrado, que representaba el mar. Cada vez que una 'partícula-presa' y una
'partícula-predador' se tocaban en forma aleatoria, la segunda devoraba a la primera. Bajo la hipótesis de tasas de
crecimiento constantes, es decir, malthusianas, Volterra llegó rápidamente a la conclusión de que se trataba de un
fenómeno periódico que podía ser descrito como una oscilación.

Como relata Giorgio Israel en su espléndido libro La Mathématization du Réel (1996, Editions du Seuil, Paris),
D?Arcy Thompson se interesó de inmediato por el análisis de Volterra y, con su generosidad característica, de inmediato lo invitó a escribir un artículo, que apareció publicado en 1926 en Nature. Lo que siguió fue una tragedia.
El artículo atrajo la atención (y el resentimiento) de Alfred J. Lotka, un matemático estadounidense solitario y
amargado que supervisaba el trabajo estadístico de la Metropolitan Life Insurance Company de Nueva York.
El análisis de los datos de la aseguradora le había familiarizado en forma con la dinámica de las poblaciones no de
peces sino de humanos en donde, como todos sabemos, también hay presas y depredadores. Aunque siempre se
mantuvo alejado de las instituciones académicas, Lotka no solo poseía una sólida formación científica, sino que
era un matemático brillante que había resuelto con éxito diversos problemas en biología evolutiva, física estadística,
y teoría de probabilidades. Pero no era un hombre generoso. Cuando leyó el artículo de Volterra, de inmediato
reclamó la prioridad y le envió un paquete que incluía copias de sus trabajos y un ejemplar de su libro "Elements of
Physical Biology" (1925, Williams & Wilkins, Baltimore), en donde desde un año atrás había analizado un caso
particular de las relaciones parasitarias en donde discutía las interacciones predador-presa. El modelo de Lotka
era distinto al de Volterra, y formaba parte de un intento por describir matematicamente un ecosistema formado
por un número n de especies con relaciones tróficas francamente peligrosas, porque todas ellas se nutrían unas
de otras.

En realidad, el reclamo de Lotka era injustificado. No había existido ni mala fe ni omisión voluntaria por parte de
Volterra, cuyo análisis para el caso de dos especies era, en todo caso, mucho mas completo que el de Lotka.
De nada sirvieron las explicaciones del italiano. Como lo demuestra la lectura de la correspondencia que sostuvo
con D?Arcy Thompson, Volterra se obsesionó con el asunto, pero todo fue inútil. Un año es un año, y el apellido de
Lotka quedó como el primer nombre en un binomio que dejó unidos para la posteridad a dos hombres que se
detestaban. Venturosamente el enojo de Vito Volterra no frustró sus empeños académicos. Como dicen Faustino
y José Luis, Volterra continuó trabajando en el desarrollo de la primer teoría determinista sistematizada de la
dinámica de poblaciones, y en 1938 hasta se convirtió en un precursor de Walt Disney y del Pato Donald al filmar,
con ayuda del matemático ruso Vladimir A. Kostitzin y del cineasta francés Jean Painlevé, un documental en donde
explica los principios matemáticos de su teoría.

Para entonces, sin embargo, la combinación de disputas familiares y diferencias de enfoque había enfrentado a
Volterra con su yerno D'Ancona, pero con papeles profesionales invertidos. Este último creía en la infabilidad
absoluta de los modelos. En cambio, Volterra, quien poseía una extraordinaria sensibilidad hacia los problemas
biológicos, reconocía las dificultades que encierra la aplicación de toda metodología cuantitativa al estudio de las
ciencias de la vida. El intercambio epistolar entre suegro y yerno fue exacerbado por sus respectivas pasiones
mediterráneas, y pronto se convirtió en un debate sobre los riesgos de la abstracción y las posibilidades del
modelaje en biología.

Es evidente que la razón asistía a Volterra, el matemático. Como nos lo recuerda el texto de Koyré que Faustino
y José Luis anexaron a su libro, Galileo había afirmado que "el libro de la Naturaleza está escrito con caracteres
geométricos". Sin embargo, una ojeada a la historia de la ciencia demuestra que mientras que el uso del
instrumental matemático y el ideal de la axiomatización han tenido un éxito extraordinario en la física, ese mismo
enfoque no siempre ha sido igualmente productivo cuando se aplica a la ciencias de la vida --pero hay éxitos
notables--, como lo demuestra el extenso inventario de ejemplos incluídos en Matemáticas para las Ciencias
Naturales, y que incluye problemas de ecología, bioquímica, genética, pesquería, y crecimiento y desarrollo de los
organismos. Como escribió en 1968 von Bertalanffy al referirse no a la disputa sino a los modelos de Lotka y
Volterra, "Los principios que gobiernan el comportamiento de seres intrinsicamente diferentes se corresponden.
Pongamos un ejemplo simple: la ley del crecimiento exponencial se puede aplicar a ciertas células bacterianas,
de animales o de humanos, así como al progreso de la investigación científica, si este se mide, por ejemplo, por el
número de publicaciones sobre problemas de la genética, o sobre las ciencias en general. Los seres en cuestión,
bacterias, animales, humanos o libros, difieren totalmente de igual manera que lo hacen los mecanismos causales
implicados en los cambios mencionados. De cualquier manera, siguen la misma ley matemática. Otro ejemplo: las
leyes que describen las rivalidades entre las especies, animales o vegetales. Los mismos sistemas de ecuaciones
se aplican a ciertas ramas de la fisicoquímica o de la economía".

Es imposible no sentir la fascinación ante el extraordinario poder de abstracción de las matemáticas, sin duda
alguna la actividad teórica mas sofisticada que ha desarrollado nuestra especie. Ello nos conduce de inmediato a
interrogantes para las cuáles no tenemos respuesta. ¿Porqué podemos sistematizar y organizar el conocimiento en
términos cuantitativos?, ¿Cuál es la estructura íntima de la mente humana, que ha permitido que en todos los
pueblos y en todas las culturas se hayan cultivado, en mayor o menor grado, no sólo la matemática, sino también
la poesía, y la producción y consumo de bebidas fermentadas y otras substancias enervantes?.

Sin embargo, no nos debemos engañar. Aunque los humanos tenemos las neuronas empapadas en fluídos
matemáticos, no todos atienden a su llamado. Nadie ignora la severidad de los problemas pedagógicos que
presenta la enseñanza de las matemáticas, tanto en México como en otros países. Me limito a un ejemplo de hace
casi ochenta años: "Tengo diecisiete años, y sueño con la Historia Natural, pero mi mediocridad en el plano de las
matemáticas puede frenarme irremediablemente. Las matemáticas me inspiran un asco que no puedo superar",
le escribió un joven estudiante francés al célebre biólogo francés Jean Rostand, "¿Realmente sin ellas no puedo
consagrarme al estudio de la vida?, ¡Como resignarme a no hacer la carrera que uno quiere, y en la uno se
encontraría a gusto!"

Es cierto que el desarrollo de la biología molecular substituyó a los cálculos estadísticos de la genética mendeliana
y que, como dice Giorgio Israel, la biología moderna está definida por un reduccionismo mecanicista sin
matemáticas --pero nadie puede ser biólogo sin ellas. Ecología, bioquímica, neurofisiología, genética de
poblaciones requieren de ellas y, como bien afirman José Luis y Faustino, la biología molecular sería inconcebible
sin los modelos geométricos de las macromoléculas o muchas otras aplicaciones en otras áreas de las ciencias de
la vida. Nadie puede, por tanto, ignorar el reto docente ante esta realidad.

El volumen que hoy nos ha reunido es, en buena medida, resultado del empeño admirable que un grupo de
amigos y colegas de la Sociedad Matemática Mexicana, del Departamento de Matemáticas de nuestra Facultad,
y de la Universidad Autónoma de Chapingo, por asumir en forma plena el compromiso de la enseñanza. Es una
obra con defectos, sin duda alguna, pero estos son mínimos: le falta un índice, el nombre de Dwight Eisenhower
está mal escrito, las figuras son francamente espantosas, y el diseño es frío e inhóspito como el de un procesador
de textos adquirido durante alguna oferta navideña. Pero estos defectos no demeritan en modo alguno sus virtudes
esenciales. El libro ha asumido como hilo conductor el concepto de modelo, y como preocupación fundamental,
la enseñanza de la matemática, entendida ésta como una disciplina que se ha desarrollado en un contexto social
e histórico específico. Es un texto de prosa pulida, escrito con sentido del humor, ejemplos extraordinariamente
bien elegidos, y en donde los afanes didácticos volatilizan cualquier asomo de pedantería de la elegancia de las
demostraciones. Me alegró de verdad tener este libro en las manos, por la forma en que fué escrito, por los
objetivos que se persiguieron con su elaboración, por la amistad y respeto que siento por sus autores y, sobre todo,
porque es fácil reconocer que atrás de la preparación de un texto para nuestros maestros y alumnos hay un acto
de enorme generosidad intelectual.

El 6 de Agosto, hace apenas un mes, ví por primera vez el texto de José Luis y Faustino. Después supe que ese
mismo día había fallecido André Weil, el fundador del grupo Bourbaki, quien a pesar de haber luchado en contra
de la resistencia francesa al lado de las fuerzas alemanas logró emigrar a Princeton. Ni en Francia ni en los EEUU
lo querían, pero lo respetaban. Carecía de la intensidad y la solidez moral de su hermana Simone Weil, pero
era un hombre brillante, con un refinado sentido del humor, y horizontes intelectuales de una amplitud enorme.
Como lo demuestra la lectura de su autobiografía Souvenirs d'Apprentissage (Odile Jacob, Paris), siempre se
mantuvo atento tanto a los problemas de la enseñanza como a la posibilidad de aplicar su conocimiento a otras
áreas del conocimiento científico a las que siempre se asomó con su mirada de matemático.

Esa actitud no es tan rara como pudiera parecer. La lectura de Matemáticas para las Ciencias Naturales es un
ejemplo de hasta que punto esa apertura intelectual suele ser mas frecuente entre los matemáticos que entre
quienes se dedican a otras disciplinas científicas. Me parece admirables tanto su preocupación por la enseñanza,
como la buena disposición con la que los matemáticos se asoman, con una mezcla medio explosiva de candor
e interés, a otras áreas del conocimiento: la pintura renacentista, la economía, la epidemiología, la demografía,
la historia y la filosofía de las ciencias, y hasta el psicoanálisis. Como nos lo recuerdan José Luis y Faustino,
ese acercamiento se suele dar sin paternalismos y sin actitudes refractarias. "Durante los dos últimos tercios
del siglo", escriben en su libro, "la matemática se ha inspirado en procesos biológicos tan complicados como
el modelo darwiniano de selección natural o el funcionamiento del sistema nervioso para desarrollar herramientas
computacionales (los algoritmos genéticos y las redes neuronales, respectivamente --de utilidad muy superior,
en algunos casos, a las tradicionales". Tienen razón; la matemática y biología se han nutrido y enriquecido
mutuamente como resultado de su interacción. Entre una y otra ha habido de todo: resultados extraordinarios,
como los de Lotka y Volterra; chanchullos minúsculos e inofensivos como los de Mendel; excesos como los de
Ravshevsky y Stewart; promesas incumplidas como las de la teoría de catástrofes; errores y aciertos como los
de D'Arcy Thompson. Como lo demuestra este breve inventario, la relación de las matemáticas con las ciencias
biológicas es de amores extravagantes y amasiatos turbulentos. No importa. Mejor eso a un matrimonio tedioso.

Leído en la Facultad de Ciencias de la UNAM el 3 de Septiembre de 1998 en la presentación del libro Matemáticas para las Ciencias Naturales, de José Luis Gutiérrez Sánchez y Faustino Sánchez Garduño (1998, Sociedad Matemática Mexicana, México)




Turbulencias y extravagancias o
del difícil amor entre la biología y la matemática

Faustino Sánchez Garduño*
José Luis Gutiérrez Sánchez**

El ensayo que Antonio Lazcano Araujo publica en este número de Ciencias y que leyó en la presentación de
Matemáticas para las ciencias naturales tiene la chispa, el buen humor y la erudición a los que Toño nos tiene
acostumbrados: los comentarios, las anécdotas elegantes y documentadas con los que salpica sus cuartillas
dan a los nombres de los estudiosos que él cita y pueblan hoy nuestros más respetados libros técnicos, una
dimensión tangiblemente humana y hacen de su gentil presentación -que agradecemos por todo lo que vale-
un artículo interesante, educativo y realmente disfrutable. Muy sugestiva es la forma en que Lazcano
caracteriza la relación entre su disciplina de origen, las ciencias biológicas, y la nuestra, la matemática.
Al señalar que se trata de un amasiato turbulento o un amor extravagante, asoma las narices una vieja disputa
filosófica que Toño toca de soslayo y a la que nosotros queremos referirnos explícitamente: se trata de discernir
la existencia de una disciplina que pueda legítimamente llamarse biología matemática o, en forma sucinta, biomatemática. El debate suscita con frecuencia reacciones encontradas y extremas, exactamente como las que
se dan en una disputa conyugal y, como en tales episodios, el no llamar al pan, pan y al vino, vino, encona
resentimientos y distancia a los actores.

Por ejemplo, aquellos biólogos que toman el reduccionismo mecanicista (sin matemáticas) como método universal
en su disciplina, suelen adoptar una actitud pragmática respecto a las reflexiones filosóficas; olvidan toda la
tradición humanista de las ciencias y parecen contentos con ello; si hay algún método matemático que les sirva,
lo aprovechan pero pasan de largo cuando alguien les invita a pensar en las implicaciones epistemológicas de
ese uso. Sin duda, el desdén de la filosofía estrecha el horizonte y engendra errores como el de creer a pies
juntillas que todo en biología puede reducirse, por ejemplo, a describir secuencias de DNA. Y sin embargo, es un
hecho que hay enigmas esenciales de la vida -como la biología del desarrollo, i.e. del proceso que lleva del
genotipo al fenotipo y que da lugar a la emergencia de patrones, a la diferenciación celular, a la especialización
de tejidos, etcétera- inexplicables en términos solamente del código genético cuya solución exige, de inicio,
admitir que la física y la matemática de este fin de siglo han empezado a hacer contribuciones notables a la
comprensión de esos enigmas y que, muy probablemente, la respuesta correcta depende del auxilio de estas
dos ciencias. Otros biólogos, quizá de mayor raigambre naturalista, suelen dejarse llevar por el escepticismo
pues la inmensa variabilidad de la vida, el carácter esencialmente contingente con el que conciben su historia
y la abrumadora complejidad -en el sentido de que en ellos actúan multitud de elementos interrelacionados de
manera no simple- de sus fenómenos, les hacen creer que los procesos biológicos no pueden ser sometidos a
leyes causales porque, como se ve en la física, tales leyes empiezan siempre por idealizar las cosas y ese
procedimiento, aplicado al estudio de la vida, es notoriamente incapaz de lidiar con ella. Por ello, aunque
respeten y aun aplaudan “la mezcla medio explosiva de candor e interés” con la que físicos y matemáticos
pretenden extender sus métodos a la biología, no dejan de sonreír compasivamente como parece hacerlo
Lazcano al final de su artículo pues posiblemente piensan que están “empeñados en un intento condenado a
fracasar. Pobrecitos”. Sin embargo, tanto los desdeñosos como los escépticos parecen coincidir en que un buen
auxiliar para la investigación en biología es la estadística y, cuando se plantea el tema de la relación entre
biología y matemática, suelen decir “ah, sí, claro que no se puede entender la biología contemporánea sin la
estadística” y agregan, “por ejemplo, es indispensable en la fundamentación neodarwinista de la teoría de la
evolución que inició Galton y culminaron Haldane y Fisher”. Nuestro primer empeño en esta discusión es dejar
establecido que no es ésa la relación interdisciplinaria que nos interesa: la estadística se encarga de recolectar
y presentar ordenadamente datos experimentales y de hacer inferencias que, por su naturaleza, no pueden
trascender el límite del empiricismo; es decir, los métodos estadísticos pueden ser muy valiosos en la descripción
de lo que ocurre pero son estériles para explicar cómo o porqué. Esto quiere decir, también, que la búsqueda
de relaciones causales, explicativas, no pertenece a su dominio. No, nuestra concepción de la biomatemática es
semejante a la de la fisicamatemática: así como el ser humano piensa su circunstancia en el lenguaje natural,
la física se piensa en matemáticas; y de manera semejante a como la gramática, desde la perspectiva chomskiana,
con sus reglas de generación y transformación, es el soporte para que los hablantes de una lengua desarrollen
pensamientos complicados y sean capaces de expresar razones y sentimientos completamente nuevos, la lógica
de la matemática permite constituir, con las representaciones de las cosas físicas, cuerpos de enunciados formales
cuyos teoremas describen estructuras, niveles de interrelación, dinámicas, principios generales o leyes. Por ello,
no puede ser más grande la diferencia entre lo que nuestra biología matemática pretende y el empiricismo
estadístico.

Del amasiato turbulento

Pero, entonces, ¿qué relación puede haber entre dos ciencias cuyas metodologías y objetos de estudio son
completamente diferentes? La biología estudia desde organismos tan diminutos como los radiolarios o las amibas
o, más pequeños aún, como las bacterias hasta las imponentes secoyas, los seres humanos, o los enormes
cetáceos; considera todos sus niveles de organización y explora las relaciones intra e interespecíficas y lo hace
a diferentes escalas espaciales y temporales: considera las características macroscópicas de los organismos
o escudriña en su intimidad celular o molecular; describe la breve historia de la vida de los individuos o trata
de reconstruir la sucesión de las especies en la inmensidad de los tiempos geológicos. El trabajo de un biólogo
suele combinar la investigación de campo con la de laboratorio; se enfrenta en su tarea, siempre directamente,
con la más maravillosa de las realidades físicas, la de la vida. En cambio, la matemática es una ciencia formal
y deductiva. Como la lógica o la gramática, establece un lenguaje propio en cuyos símbolos establece relaciones,
orden y estructuras y, con base en supuestos sencillos y reglas de inferencia claras, obtiene consecuencias ciertas
dentro del aparato formal en el que son deducidas. Aunque la visión popular de la matemática suele suponer
que sólo tiene que ver con cantidades y figuras geométricas, en su mundo, al que se ha asomado incluso el Pato
Donald, hay mucho más que aritmética, los niveles de idealización son prácticamente no acotados y se construyen
modelos o formalizan teorías cuya relación con los problemas de la realidad física, que frecuentemente los
inspiran, es secundaria en tanto se tiene una lógica propia completamente ajena a lo que puedan representar
las ecuaciones. El de los matemáticos, además, es un trabajo de gabinete; si acaso, utilizan la computadora como
una herramienta, pero... volvamos a la pregunta: ¿qué relación puede establecerse entre una ciencia que estudia
a los seres vivos y otra que es prototipo de abstracción? Hasta hoy, prácticamente en todas partes, la escuela
dominante en biología tiende sólo a describir, clasificar o narrar pero no explica lo que ocurre con la vida.
El problema de explicar, como se entiende en la física o la química, estableciendo relaciones causales para
descubrir porqué la realidad de la vida es como es, con base en hipótesis o teorías que puedan ser refutadas,
no parece pertinente. Por ello, al referirse al trabajo de D’Arcy Thompson a quien llama con justicia y concisión
“sombra tutelar” de los biomatemáticos, Toño Lazcano afirma:

... Al igual que algunos de sus contemporáneos, Thompson estaba convencido de que las formas geométricas
de los organismos representaban soluciones optimizadas con las que la materia viva respondía en forma
plástica y polifilética ante la acción directa de las fuerzas físicas. Pocos creen eso hoy en día...
[el subrayado es nuestro]

En efecto, los miembros de la corriente dominante no creen eso porque creen otra cosa. Por ejemplo,
posiblemente creen que la distribución espacial de las partes de las plantas o la anatomía de los animales son
ininteliglibles porque la selección natural es un proceso histórico, esencialmente circunstancial, sujeto de puro
azar y, por ello, ajeno a principios explicativos generales. En cambio, el tipo de afirmación thompsoniana que
refiere Toño no es la expresión de un elemento doctrinario sino una hipótesis biofísica; es decir, es un enunciado
sujeto de refutabilidad: dadas las condiciones bajo las cuales se supone válido, pueden confrontarse sus
consecuencias con la realidad y, con base en esta confrontación, corregirse o tomarse como base para plantear
hipótesis de mayor alcance explicativo. Por el contrario, las creencias son irrefutables. Más adelante, Lazcano cita
a Stephen Jay Gould:

...los trabajos de David Raup con fósiles de gasterópodos y amonites sugieren que en algunos casos
[el subrayado es nuestro] es posible explicar la forma de los organismos y sus partes reconociendo la manera en
que están determinadas jerárquicamente por unos cuantos factores mucho más sencillos pero interconectados...

Y nosotros llamamos la atención sobre el subrayado precautorio: si es posible la explicación en algunos casos,
¿qué invalida la posibilidad de que sean factores sencillos interconectados los que gobiernen, en general, la
arquitectura de todos los seres vivos? Nuevamente, sólo la creencia en que eso no puede ser porque es de otra
manera y una vez montados en la fe, lo de menos es ver ventajas adaptativas por todos lados. A despecho de
la reconvención airada del mismo Darwin que -en la edición de 1872 de "El origen de las especies"- advirtió que
él no sostenía tal cosa , los neodarwinistas afirman que todos los rasgos que están presentes en la morfología
de una especie, tienen que verse como el resultado de la combinación de un cambio en el medio ambiente, que
habría reducido la probabilidad de sobrevivencia de unos ancestros e incrementado la de otros, convirtiéndolos
en los más aptos y en los únicos capaces de dejar descendientes. En esta visión no caben las limitaciones
estructurales, físicas y químicas, naturalmente impuestas sobre cualquier dinámica evolutiva. El mismo Stephen
Jay Gould ha dicho que este tipo de leyendas adaptativas llevarían a afirmar -como el famoso Doctor Pangloss
de la novela volteriana- que "las narices de los seres humanos están hechas no para respirar, sino para poder
poner los anteojos sobre ellas". Desde luego, las regularidades fibonaccianas, las centenas de ejemplos de
patrones que se encuentran en la obra de Thompson, la multitud de semejanzas morfológicas que se observan
entre los seres vivos y la materia inanimada son sorprendentes.

Pero si nos limitamos a registrarlas maravillados, como lo han hecho tantos naturalistas hasta el día de hoy,
nos dejaremos dominar por el pasmo y estaremos muy lejos de una explicación porque hará falta complementar
el asombro con el escepticismo, ingredientes indispensables de la ciencia según Carl Sagan, y la búsqueda
consiguiente de inteligibilidad. D'Arcy Thompson encontró, entre muchos otros, el porqué de las espirales que
se forman por acumulación de material calcáreo; durante los últimos veinte años, con avances y retrocesos, se ha
buscado explicar porqué la coloración de los animales obedece a procesos de reacción-difusión de las sustancias
que dan el color sobre la piel y recientemente, los físicos franceses Yves Couder y Adrien Douady han dado con los
porqués del predominio de los números de Fibonacci en la arquitectura de las plantas. Estos procesos son,
entonces, una consecuencia inevitable de las leyes naturales y no dejan lugar a accidentes históricos modulados
por la selección natural. Por ejemplo, tal vez para la forma de los pétalos o el aroma de las flores sea importante
la descripción adaptacionista, pero el trabajo de Couder y Douady parece haber establecido que la arquitectura
esencial de las plantas nada tiene que ver con ventajas selectivas. Pero, ¿existen leyes que gobiernan al mundo
biológico en el mismo sentido que las leyes de la física mandan sobre la materia inanimada? o, acaso, ¿es la
materia viva diferente de la que compone el agua, las rocas, los mares, los planetas y las galaxias, de manera que
la vida y sus manifestaciones son incomprensibles, porque son el producto de designios divinos o de una ciega
y azarosa variación seguida de un retorno a cierto orden, impuesto por la todopoderosa selección natural? Si la
primera pregunta se responde afirmativamente y se renuncia de una vez y para siempre a cualquier tipo de
vitalismo, las leyes de la biología podrán expresarse, como las de la física, en el lenguaje preciso y claro de la
matemática. En este caso, como dice Ian Stewart , en una de esas afirmaciones de talante pitagórico que llevan a
los biólogos a ver a físicos y matemáticos, con ternura reprobatoria, del modo como los famas ven a los cronopios
en la mitología cortazariana:

... El siglo venidero presenciará una explosión de nuevos conceptos matemáticos, de nuevos tipos de matemática
creados por la necesidad de entender los patrones del mundo viviente. Esas nuevas ideas interactuarán con las
ciencias biológicas y físicas por caminos completamente nuevos. Proveerán -si son exitosas- una comprensión
profunda de ese extraño fenómeno que llamamos “vida” en la cual sus sorprendentes capacidades sean vistas
como algo que fluye inevitablemente desde la riqueza subyacente de nuestro universo y desde su elegancia
matemática.

Del amor extravagante

Toño recuerda en su ensayo los modelos de D’Arcy Thompson, quien era un zoólogo naturalista que dominaba
la geometría euclidiana y destaca la fecunda colaboración -que dio lugar a toda una escuela de la ecología de
poblaciones- entre el fisicomatemático Vito Volterra y Umberto D’Ancona, un biólogo pesquero. Sin embargo,
el trabajo de Thompson es prácticamente desconocido para la mayoría de los biólogos y sólo algunos ecólogos
estudiaban, hasta muy recientemente, los modelos de Lotka-Volterra. En la práctica de la investigación biológica,
este amor extravagante ha dado a luz y ha alimentado muchas creaturas más que no tienen, en verdad, nada
que ver con “sistematizar y organizar el conocimiento en términos cuantitativos” como resume Lazcano la
capacidad humana de hacer matemáticas. De hecho, no es exagerado decir que en los campos más interesantes
de la matemática moderna, importan más las cualidades de los sistemas y esto, no obstante, permite abordar
problemas tanto de orden teórico como práctico. Por ejemplo, un instrumento aparentemente muy abstracto
del análisis matemático, la Transformada de Radón, es fundamental en técnicas médicas de reconstrucción no
destructiva de órganos. La taxonomía biológica, que fue durante mucho tiempo dominio exclusivo del naturalismo,
se hace hoy con base en la lógica matemática y la teoría de conjuntos. Esclarecer fenómenos como el
superenrollamiento del DNA o identificar la acción de topoisomerasas ha requerido el concurso de topólogos
especialistas en teoría de nudos. De manera que las aplicaciones recientes y, previsiblemente, las que están por
venir, de la matemática en la biología configuran más una ciencia de calidades que de cantidades. De mayor
alcance y, a juicio nuestro, mucho más estimulantes, han sido los esfuerzos por construir un aparato matemático
que sea capaz de representar procesos generales como el origen de la vida, la biología del desarrollo o
morfogénesis -caracterizados por la emergencia del orden desde la materia “informe”- y la evolución biológica.
Estos temas resumen las preocupaciones que llevaron al embriólogo británico, Conrad Hal Waddington, a
convocar -a mediados de la luminosa década de los sesenta- a físicos, biólogos y matemáticos a discutir la
posibilidad de fundar una biología teórica equiparable en métodos y objetivos a la física teórica . En 1966,
René Thom aborda estos problemas y propone, con base en la teoría de catástrofes, traducir la dinámica
morfogenética a un sistema de ecuaciones de reacción-difusión: así, la especialización celular se caracteriza
por regímenes de metabolismo local estable que resultan atractores de la cinética bioquímica y donde el
significado funcional de los tejidos correspondientes se expresa en la estructura geométrica o topológica de los
mismos y, para convencer a los “espíritus estrictamente empiricistas, a la Bacon” del valor de una teoría como
la suya, dice que es incorrecto suponer que un modelo cuantitativo podría ser mejor porque, en última instancia,
éstos suponen un corte cualitativo de la realidad y

... el objetivo final de la ciencia no es acumular datos empíricos sino organizarlos en estructuras más o menos formalizadas que los subsuman y los expliquen. Y para llegar a esta meta, hay que tener ideas a priori sobre la
manera en que ocurren las cosas, hay que tener modelos y teorías...

Desarrollar ésta, que es la propuesta de uno de los más profundos filósofos de la ciencia de nuestros días,
es fundamental para la buena relación entre matemática y biología aunque Lazcano cuente más las
“promesas incumplidas” no de René Thom sino de otros matemáticos, como Christopher Zeeman, que
ingenuamente, creyeron encontrar una herramienta universal de modelación en la teoría de catástrofes. Como
se ve, más allá de la metáfora del amor difícil, la importancia del debate es mucha . En el fondo, se refiere a la
posibilidad de aplicar los métodos de la matemática a la biología no sólo para la modelación de fenómenos
o procesos particulares -cosa que, como hemos visto sin demasiado esfuerzo, ya se hace con éxito en muchas
ramas de las ciencias de la vida- sino para plantear, a semejanza de como se hace en física, teorías explicativas
generales que puedan ser confrontadas con la realidad para confirmar o refutar sus leyes o teoremas. Más aún,
la polémica tiene que ver con el problema de si existe o no la unidad de las ciencias, tema que muchos filósofos
de la biología se empeñan en dar por terminado, resuelto con una rotunda negativa y que, como el ave fénix,
renace de sus cenizas cada tanto. Nosotros, desde luego, postulamos que sí hay tal unidad y que es la matemática
el lenguaje que se la da. Ian Stewart lo dice de esta manera: Ya pueden verse los primeros y tenues destellos de
esta nueva fusión de las ciencias. La matemática -nueva, vital, creativa- da forma, ahora, a nuestra comprensión
de la vida en cada nivel: desde el DNA hasta los bosques tropicales, desde los virus hasta las parvadas de pájaros, desde los orígenes de la primera molécula que se copió a sí misma hasta la majestuosa e indetenible marcha de
la evolución. Reconocemos que, como toda nueva ciencia, nuestra comprensión matemática de la biología está
fragmentada, hecha de pedazos y se presta a debate. Por incompletos o mal conceptualizados que pudieran
finalmente resultar estos fragmentos, son ya absolutamente fascinantes. Especialmente para quienes tuviesen la
Tal vez, Toño amigo, es tiempo de seguir la pauta del Pato Donald y otros pitagóricos y empezar a tatuarnos,
en la palma de la mano, pentágonos con estrellas de cinco picos o de aprender a solfear la impresionante y
maravillosa música de las esferas.


*Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la
Universidad Nacional Autónoma de México

**Programa Interdepartamental de Agroecología de la Universidad Autónoma Chapingo (UACh)
y Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la UNAM.

Gutiérrez Sánchez, José Luis y Faustino Sánchez Garduño.
Matemáticas para las ciencias naturales, México,
Sociedad Matemática Mexicana, Serie Textos Número 11, 1998.

Véase la discusión de Pedro Miramontes en su artículo “Biomatemática”,
por aparecer en una antología de ensayos publicada por el
Centro Interdisciplinario de Ciencias y Humanidades de la UNAM

Stewart, Ian.
Life’s Other Secret. The New Mathematics of the Living World.
London. Allen Lane, The Penguin Press, 1998.

En todo lo referente al trabajo de René Thom puede verse:
Gutiérrez Sánchez , José Luis
“Waddington, Thom y la biología teórica” en Clásicos de la biología matemática.
Editado por Faustino Sánchez Garduño y Pedro Miramontes
México, Facultad de Ciencias de la UNAM (en prensa)

Véase Miramontes, Pedro (Ob. cit.)
Stewart, Ian (Ob. cit.)